Konvergenz von Summen

+2 Daumen
1,431 Aufrufe

 

Sind folgende Summen konvergent oder divergent ?

1)

Formel 1

2)

Formel 2

Unter den Summen habe ich das "n=" vergessen :(

Gefragt 20 Okt 2012 von Der_Mathecoach Experte CCXXVI

2 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Bei beiden Reihen kann man das Wurzelkriterium verwenden.

Das besagt:
Eine Reihe

ist genau dann konvergent, wenn

mit festem C < 1 für hinreichend viele i gilt.

 

Beim ersten Beispiel teile ich dafür noch den Bruch in zwei Summanden auf und wende dann das Wurzelkriterium auf beide Reihen an.

Die erste Reihe ist also konvergent, als C kann jede beliebige Zahl zwischen 1/2 und 1 gewählt werden.

Für den zweiten Summanden:

Den Betrag von sin(i2) kann man mit einer 1 nach oben abschätzen.

Für die i-te Wurzel aus i²:

Da die Basis konstant ist, reicht es aus hier den Grenzwert des Exponenten zu untersuchen - dafür verwende ich gleich die Regel von l'Hospital:

Also geht die i-te Wurzel aus i² gegen e0 = 1.

Damit folgt insgesamt, dass die i-te Wurzel aus dem Reihenargument gegen 1/2 geht und wiederum mit jedem beliebigen C zwischen 1/2 und 1 nach oben abgeschätzt werden kann.

Die Reihe ist also konvergent.

 

Bei der zweiten Aufgabe könnte man prinzipiell genauso vorgehen, ich will aber einen anderen Weg wählen:

Damit eine Reihe konvergiert, muss ihr Argument eine Nullfolge sein. Das ist in diesem Fall aber nicht gegeben:

Jetzt muss man erstmal schauen, was da steht:

(3/4)i geht gegen 0, der Nenner geht also gegen 1.

3i/4i geht gegen 0, da ein exponentieller Term erheblich schneller wächst als ein linearer - das kann man noch durch einmal anwenden von l'Hospital zeigen, das spar ich mir jetzt.

i3/4 geht gegen Unendlich, ganz zu schweigen davon, wenn man das ganze nochmal hoch i nimmt.

Da steht also im Prinzip ein Ausdruck der Form

(∞+0)/(0+1) = ∞/1

Das ist aber kein unbestimmter Ausdruck (z.B. ∞/∞ oder ∞-∞) also geht der ganze Term gegen ∞.

Gefordert war aber, dass der Term eine Nullfolge ist. Also divergiert die Reihe.

Beantwortet 20 Okt 2012 von Julian Mi Experte X

Ich verstehe bei der 1. Aufgabe nicht, wie man für die i-te Wurzel aus i^2 auf e^(ln(i^2)/i) kommt. Vielleicht kann mir das jemand erklären. 

Sommersonne: Du hast hier eine Caret-Konflikt. Beachte, dass die Umwandlung bei der ersten schliessenden Klammer nach einem ^ den Exponenten beendet. Wenn du das nicht willst, muss du das Symbol x^2 benutzen.

i ist hier der Summationsindex und nicht die imaginäre Einheit.

Zu deiner Frage:

Du solltest wissen, dass i-te Wurzel auch Exponent 1/i ist.

Weiter solltest du wissen, dass exp und ln Umkehrfunktionen sind. Also eln(x) =x , wenn immer ln(x) definiert ist. 

Hallo Lu,

danke für deine Antwort! Ich werde es noch einmal mit deinen Tipps versuchen. 

Eine Frage habe ich aber jetzt noch. Mir ist der Begriff Caret Konflikt nicht bekannt. Was meinst du damit? Hat das mit dem Exponenten zu tun, was du in deinem Kommentar erwähnt hast?

Bitte. Gern!

Übrigens: ^ wird auch Caret genannt.

0 Daumen

Schätzung:

1) konvergiert und 2) divergiert.

Um das zu zeigen, versucht man mit Ungleichungen abzuschätzen, was für grosse n kleiner als eine bekannte konvergierende Summenfolge resp. grösser als eine bekannte divergierende Summenfolge ist.

Konzentriere dich bei den Abschätzungen v.a. auf die Exponentialfunktionen. 

Ich nehme an, dass du das so selbst erledigen kannst.

Beantwortet 20 Okt 2012 von Lu Experte CIII

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Matheretter
...