Sind die Summen konvergent oder divergent?

Question

Sind folgende Summen konvergent oder divergent?

1)
$$\sum _ { n=1 } ^ { \infty } \frac { n ^ { 2 } \cdot \sin \left( n ^ { 2 } \right) + 1 } { 2 ^ { n } }$$

2)
$$\sum _ { n=0 } ^ { \infty } \frac { n ^ { 3 n } + 3 n } { 3 ^ { n } + 4 ^ { n } }$$

Answer 1

Bei beiden Reihen kann man das Wurzelkriterium verwenden.

Das besagt:

Eine Reihe

$$\sum _ { i = i _ { 0 } } ^ { \infty } a _ { i }$$

ist genau dann konvergent, wenn

$$\sqrt [ i ] { \left| a _ { i } \right| } < C$$

mit festem C < 1 für hinreichend viele i gilt.

1. Aufgabe

Beim ersten Beispiel teile ich dafür noch den Bruch in zwei Summanden auf und wende dann das Wurzelkriterium auf beide Reihen an.

$$\left. \begin{array} { l } { a _ { i } = \frac { i ^ { 2 } \cdot \sin \left( i ^ { 2 } \right) } { 2 ^ { i } } } \\ { b _ { i } = \frac { 1 } { 2 ^ { i } } } \\ { \sqrt [ i ] { \left| b _ { i } \right| } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 ^ { i } } } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Die erste Reihe ist also konvergent, als C kann jede beliebige Zahl zwischen 1/2 und 1 gewählt werden.

Für den zweiten Summanden:

$$\sqrt [ i ] { \left| a _ { i } \right| } = \sqrt { \left| \frac { i ^ { 2 } \cdot \sin \left( i ^ { 2 } \right) } { 2 ^ { i } } \right| } = \frac { \sqrt [ i ] { i ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \left| \sin \left( i ^ { 2 } \right) \right| } } { 2 }$$

Den Betrag von $\sin(i^2)$ kann man mit einer 1 nach oben abschätzen.

Für die i-te Wurzel aus i²:

$$\lim _ { i \rightarrow \infty } \sqrt [ i ] { i ^ { 2 } } = \lim _ { i \rightarrow \infty } \left( i ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { i } } = \lim _ { i \rightarrow \infty } e ^ { \frac { \ln ( i^2 ) } { i } }$$

Da die Basis konstant ist, reicht es aus hier den Grenzwert des Exponenten zu untersuchen - dafür verwende ich gleich die Regel von l'Hospital:

$$\lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { \ln \left( i ^ { 2 } \right) } { i } \sim \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { \frac { 2 i } { i ^ { 2 } } } { 1 } = \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { 2 } { i } = 0$$

Also geht die i-te Wurzel aus i² gegen $e^0 = 1$.

Damit folgt insgesamt, dass die i-te Wurzel aus dem Reihenargument gegen 1/2 geht und wiederum mit jedem beliebigen C zwischen 1/2 und 1 nach oben abgeschätzt werden kann.

Die Reihe ist also konvergent.

2. Aufgabe

Bei der zweiten Aufgabe könnte man prinzipiell genauso vorgehen, ich will aber einen anderen Weg wählen:

Damit eine Reihe konvergiert, muss ihr Argument eine Nullfolge sein. Das ist in diesem Fall aber nicht gegeben:

$$\lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { i ^ { 3 i } + 3 i } { 3 ^ { i } + 4 ^ { i } } = \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { 4 ^ { i } \left( \left( \frac { i ^ { 3 } } { 4 } \right) ^ { i } + \frac { 3 i } { 4 ^ { i } } \right) } { 4 ^ { i } \left( \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { i } + 1 \right) } \\ = \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { \left( \frac { i ^ { 3 } } { 4 } \right) ^ { i } + \frac { 3 i } { 4 ^ { i } } } { \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { i } + 1 }$$

Jetzt muss man erstmal schauen, was da steht:

(3/4)ⁱ geht gegen 0, der Nenner geht also gegen 1.

3i/4ⁱ geht gegen 0, da ein exponentieller Term erheblich schneller wächst als ein linearer - das kann man noch durch einmal anwenden von l'Hospital zeigen, das spar ich mir jetzt.

i³/4 geht gegen Unendlich, ganz zu schweigen davon, wenn man das ganze nochmal hoch i nimmt.

Da steht also im Prinzip ein Ausdruck der Form

(∞+0)/(0+1) = ∞/1

Das ist aber kein unbestimmter Ausdruck (z.B. ∞/∞ oder ∞-∞) also geht der ganze Term gegen ∞.

Gefordert war aber, dass der Term eine Nullfolge ist. Also divergiert die Reihe.

Comments

Ich verstehe bei der 1. Aufgabe nicht, wie man für die i-te Wurzel aus i² auf $e^{\frac{ln(i^2)}{i}}$ kommt. Vielleicht kann mir das jemand erklären.

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i ist hier der Summationsindex und nicht die imaginäre Einheit.

Zu deiner Frage: Du solltest wissen, dass i-te Wurzel auch Exponent 1/i ist. Weiter solltest du wissen, dass exp und ln Umkehrfunktionen sind. Also e^ln(x) =x , wenn immer ln(x) definiert ist.

Answer 2

Schätzung:

1) konvergiert und 2) divergiert.

Um das zu zeigen, versucht man mit Ungleichungen abzuschätzen, was für grosse n kleiner als eine bekannte konvergierende Summenfolge resp. grösser als eine bekannte divergierende Summenfolge ist.

Konzentriere dich bei den Abschätzungen v.a. auf die Exponentialfunktionen. 

Ich nehme an, dass du das so selbst erledigen kannst.