Bestimmung des Grenzwertes von (2 -√(x-3))/(x^2 - 49), wobei x gegen 7

Question

Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert ohne Verwendung der Regel von Bernoulli - de l´hospital:

$$ \lim _ { x \rightarrow 7 } \frac { 2 - \sqrt { x - 3 } } { x ^ { 2 } - 49 } $$

$$\lim _ { x \rightarrow \pi / 4 } \frac { \sin ( x ) - \cos ( x ) } { 1 - \tan ( x ) }$$

Wie mache ich das?

Answer 1

Beim 2. kannst du mit tanx = sin x / cos x einen Doppelbruch betrachten.

Wegen

(sin x - cos x) / ( cos x - sin x) = -1

lässt er sich kürzen. Am Schluss bleibt voraussichtlich -cos x.
Da kannst du dann π/4 einsetzen.

-cos(π/4) = -√2 / 2

Comments

Ich kann das nicht nachvollziehen. Kannst Du mal den ganzen Lösungsweg bitte posten?

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Sei x≠ π/4 und alle weiteren Lücken im Definitionsbereich.

(sinx - cos x)/(1 - sinx/cosx)

= (sin x - cos x) / ((cos x/ cos x - sin x / cos x) 

= ((sin x - cos x)/1) / ((cos x - sinx)/ cos x )

Doppelbruch! Mit Kehrbruch multiplizieren

= (sin x - cos x)(cosx) / (cos x - sin x) 

Kürzung von oben

= -1* cos x

= - cos x  für alle x≠π/4 …

Hier kann man beliebig nahe bei π/4 x-Werte einsetzen. Im Grenzwert geht sogar π/4, da cos x stetig ist.

Rest steht oben schon.

Answer 2

Ein Weg beim ersten Grenzwert:
Zähler rational machen, kürzen, einsetzen und ausrechnen.

Comments

Was habe ich dann davon, dann ist ja ein Bruch im Nenner???

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Du musst mit (2 + √(x-3)) erweitern. Dabei entsteht kein Bruch! Im Übrigen ist das ein Standardverfahren zum Beseitigen von unerwünschten Wurzeln. Vielleicht probierst Du es einfach mal aus.

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Dann habe ich aber doch eine Wurzel im Nenner, was bringt mir das denn?

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Sieht doch dann so aus, oder?

$$\frac { 2 - \sqrt { x - 3 } } { \left( x ^ { 2 } - 49 \right) * 2 + \sqrt { x - 3 } } = \frac { 4 - ( x - 3 ) } { \left( x ^ { 2 } - 49 \right) * 2 + \sqrt { x - 3 } }$$

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Na, im Nenner (unten) fehlen die Klammern, den Zähler kannst Du ausrechnen.

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Okay, dann habe ich:

$$\frac { 4 - ( x - 3 ) } { ( x - 7 ) ( x - 7 ) * ( 2 + \sqrt { x - 3 } ) }$$

$$\frac { ( 7 - x ) } { ( x - 7 ) ( x - 77 - x ) } { ( x - 7 ) ( x - 7 ) ( 2 + \sqrt { x - 3 } } = \frac { - 1 } { ( x - 71 } { ( x - 7 ) ( 2 + \sqrt { x - 3 } }$$

Hinter der Wurzel fehlt eine Klammer! Jetzt kann man aber nichts mehr machen, oder?

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Man könnte die dritte binomische Formel richtig anwenden: x²−49 = ...

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Oh, das war ein Tippfehler!

$$ \frac { ( 7 - x ) } { ( x - 7 ) ( x + 7 ) ( 2 + \sqrt { x - 3 } ) } = \frac { - 1 } { ( x + 7 ) ( 2 + \sqrt { x - 3 } ) } $$

Und nun?

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Nun soll das x schließlich 7 werden...

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Setze ich jetzt nur noch ein, oder was muss ich jetzt noch machen?

Answer 3

Du kannst beim zweiten Grenzwert so erweitern, dass der Nenner beim Grenzübergang nicht mehr verschwindet.