Funktion 5. Grades auf Extremwerte und Wendepunkte untersuchen

Question

Funktion:

y=  x^6-6x^4

Die erste Ableitung ist eine Funktion 5. Grades, da ich darauf nicht die pq-Formel anwenden kann bin ich mit der Lösung überfordert.

Ich wüde mich über eine Lösung mit Rechenweg sehr freuen!

Answer 1

y=  x⁶-6x⁴

f ´( x ) = 6 * x^5 - 24 * x^3
f ´( x ) = x^3 * ( 6 x^2 - 24 )
Satz vom Nullprodukt : Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren
0 ist.

x^3 = 0
und
6 * x^2  - 24 = 0
x ^2 = 4
x = ± 2

Stellen mit waagerechter Tangente
( 0 | 0 )
( ± 2 | f ( ± 2) )

f ´´ ( x ) = 30 * x^4 - 72 * x^2
f  ´´ ( x ) = x^2 * ( 30 * x^2 - 72 )
x = 0
und
30*x^2 -72 = 0
x^2 = 72 / 30
x = ± 1.549

W ( 0 | 0 )
W ( ± 1.549 | f ( ± 1.549 ) )

~plot~ x^{6}-6*x^{4} ; [[ -3 | 3 | -35 | 30 ]] ~plot~

Answer 2

y=  x⁶-6x⁴

y ' = 6x⁵ - 24x³ = 6 • x³ • (x² - 4) = 6 • x³ • (x-2) • (x+2) = 0

Nullstellen von f ' :  x = 2 mit VZW  - → +     → T

                              x = -2 mit VZW - → +      → T

                              x = 0  mit VZW  + → -     → H

y ''  =  30x⁴ - 72x² = x² • (30x² - 72) = 0

 Nullstellen von y '':  x = 0 doppelt vgl. oben

                                  x = ± √(72/30)  ≈ ± 1,55    jeweils mit VZW  → Wendestelle

Die Koordinaten der Punkte erhältst du durch Einsetzen der x-Werte  in f

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

kleiner Fehlerhinweis

30x⁴ - 72x² = x² • (30x - 72)

sondern
30x⁴ - 72x² = x² • (30x^2 - 72)

mfg Georg

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Habe ich - nach Blick auf meinen Graph :-) - bereits korrigiert. Aber danke für den Hinweis.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Klammere in der Ableitung x³ aus und verwende den Satz vom Nullprodukt.

Answer 4

Funktion 5. Grades auf Extremwerte und Wendepunkte untersuchen