Zeigen Sie, dass M eine Äquivalenzrelation ist.

Question

G ist eine Menge mit endlich vielen Elementen.

P(G) = (A | A Teilmenge von G )  ist die Potenzmenge von G (Menge aller Teilmengen).

Auf P(G)xP(G) wird die Relation M definiert durch: (A,B) Element aus M  |A| = |B|.

Dabei ist |A| die Anzahl der Elemente in der Menge A.

Zeigen Sie, dass M eine Äquivalenzrelation ist.

Ich komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter. Ich bin es gewohnt, dass dort klein a oder klein b stehen, aber hier ist das irgendwie nicht so. Weiß nicht wo ich anfangen kann.

Kann mir einer helfen und einen Tipp geben?

Answer 1

die Aufgabe bedeutet, dass zwei Teilmengen der endlichen Menge \( G \) äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl an Elementen haben.

Das heißt, \( A \) ist äquivalent zu \( B \) genau dann, wenn \( |A| = |B| \).

Nun musst du für diese einfache Relation die Eigenschaften für Äquivalenzrelationen nachweisen.

Das geht sehr schnell: Es ist

\( |A| = |A| \) (das ist die Reflexivität),

\( |A| = |B| = |C| \Rightarrow |A| = |C| \) (Transitivität) und

\( |A| = |B| \Leftrightarrow |B| = |A| \) (Symmetrie).

Die Äquivalenzrelation erbt alle Eigenschaften einer Äquivalenzrelation vom Gleichheitszeichen, das eine Äquivalenzrelation darstellt.

Mister

Answer 2

Das ist zwar sehr anspruchsvoll ausgedrückt, bedeutet aber nur, dass zwei Elemente aus P(G) genau dann in Relation zueinander stehen, wenn sie gleichviele Elemente haben.

Reflexivität: A hat so viele Elemente, wie A.

Symmetrie: Wenn A soviele Elemente hat, wie B, dann hat auch B so viele Elemente, wie A.

Transitivität: Wenn A so viele Elemente hat, wie B und B so viele Elemente hat, wie C, dann hat auch A so viele Elemente, wie C.