Mengenlehre: Wie formuliert man diese Aussage um, sodass ¬ nicht mehr explizit auftritt?

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Hallo ich hätte da eine Frage zu Mengen!

Wie formuliert man diese Aussage so um, dass ¬ nicht mehr explizit auftritt?

∀n∈ℕ  ∃m∈ℕ  ∀k∈ℕ :    m>n  ∧  (k≥m  ∨  k≤n)

Ist diese Aussage überhaupt richtig?
Gefragt 21 Okt 2012 von Gast ih1733

1 Antwort

+1 Punkt
Die Aussage ist richtig. Sie sagt aus:
Für alle Natürlichen Zahlen n existiert mindestens eine natürliche Zahl m sodass für alle natürlichen Zahlen k folgende Aussage gilt: m ist größer als n und k ist größer oder gleich m oder k ist kleiner oder gleich n.

Die Aussage ist quasi die Postulation der Existenz des direkten Nachfolgers. Es besagt, dass es hinter jeder natürlichen Zahl n eine weitere Zahl m gibt, sodass zwischen den beiden keine anderen natürlichen Zahlen liegen.

 

Jetzt verstehe ich allerdings deine Frage nicht, denn in der Aussage tritt überhaupt kein ¬ auf.
Beantwortet 21 Okt 2012 von Julian Mi Experte X
sorry hab vergessen hinzuschreiben dass die aussage negativiert werden soll und dass dann ¬ nicht mehr explizit da stehen soll

Ah, okay.


Also, da gibt es zwei "Regeln" wie man dann mit den Quantoren (also ∀ und ∃ umzugehen hat):

1.)  ¬∀x: A(x) ⇔ ∃x: ¬A(x)

In Worten:
"Nicht für alle x ist die Aussage A(x) wahr." ist äquivalent zu "Es existiert mindestens ein x, sodass A(x) nicht wahr ist."

2.) ¬∃x: A(x) ⇔ ∀x: ¬A(x)

In Worten:

"Es existiert kein x, für das A(x) wahr ist." ist äquivalent zu "Für alle x ist die Aussage A(x) nicht wahr."

Damit kann man das ¬ quasi nach hinten durchschieben.

Dann brauchst du noch die de-Morgan-Regel:
¬(A∧B)  ⇔  (¬A) ∨ (¬B)

Außerdem gilt die rein mathematische Tatsache:
¬(a<b) ⇔ b ≤ a

Und umgekehrt analog.

 

Damit kann man den Ausdruck negieren:

¬(∀n∈ℕ  ∃m∈ℕ  ∀k∈ℕ :    m>n  ∧  (k≥m  ∨  k≤n))

⇔∃n∈ℕ  ¬(∃m∈ℕ  ∀k∈ℕ :    m>n  ∧  (k≥m  ∨  k≤n))

⇔∃n∈ℕ  ∀m∈ℕ  ¬(∀k∈ℕ :    m>n  ∧  (k≥m  ∨  k≤n))

⇔∃n∈ℕ  ∀m∈ℕ  ∃k∈ℕ :    ¬(m>n  ∧  (k≥m  ∨  k≤n))

⇔∃n∈ℕ  ∀m∈ℕ  ∃k∈ℕ :    ¬(m>n ) ∨  (¬(k≥m  ∨  k≤n))

⇔∃n∈ℕ  ∀m∈ℕ  ∃k∈ℕ :    (m≤n ) ∨  (¬(k≥m)  ∧  ¬(k≤n))

⇔∃n∈ℕ  ∀m∈ℕ  ∃k∈ℕ :    (m≤n ) ∨  ((k<m)  ∧  (k>n))

 

Jetzt kann man diese Aussage überprüfen. Ich hab dafür ein paar Teile farbig markiert und werde dazu jetzt was sagen.
Das Oder (∨) besagt ja, dass nur einer der beiden Teile richtig sein muss, damit die ganze Aussage richtig ist.

Betrachten wir also erstmal den grünen Teil:
Die Aussage ist dann:
Es existiert ein n, sodass für alle m gilt: m ist kleiner oder gleich n.
(Das k kann man hier ganz rausnehmen, weil es in der Aussage gar nicht vorkommt.)
Diese Aussage ist offensichtlich falsch! Es gibt keine größte Natürliche Zahl.

Die Aussage kann also nur noch durch den blauen Teil wahr werden:

Der sagt:
Es existiert ein n, sodass für alle m mindestens ein k existiert, sodass k kleiner ist als m und größer als n.

Das ist ebenfalls nicht richtig, wie man folgendermaßen sieht:
wählt man ein beliebiges n so kann man für m einfach n+1 wählen. dann existiert kein k, das gleichzeitig größer ist also n und kleiner als m, weil die gebrochenen Zahlen nicht erlaubt sind.


Man sieht also, dass die Negation eben gerade daher falsch ist, weil die ursprüngliche Aussage richtig ist: zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, liegt keine weitere natürliche Zahl.

Vielen dank für die Antwort, jetzt hab ich das echt verstanden. :) Wie haben das mit der Negativierung nie so richtig geübt, aber die Herleitung ist ja eigentlich echt plausibel.

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