Lipschitzbedingung erfüllt? Zeigen für y‘= 2xy

Question

 

Ich soll beweisen dass die Lischitzbedingung erfüllt ist! stehe total am Schlauch, weis auch nicht wie ich hier ansetzten soll.... hat von euch jemand eine Idee oder einen guten Link zum nachlesen?? Finde nicht das ich einleuchtend finde!

LG und !

 

Betrachten sie die Differentialgleichung y‘= 2xy

 

(a)  Zeigen sSie, dass die Lipschitzbedingung um jeden Punkt (x ₀, y ₀) erfüllt ist. Was folgt daraus?

 

(b) Wir interessieren uns für die Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung y(x) =c. Führen sie dieersten beiden Schritte des Piccard-Lindelöfschen Iterationsverfahrens durch, und bestimmen sie die Folgengliederung h1(x) und h2(x). (Tipp Vollständige Induktion)

Answer 1

a)

die Definition der Lipschitz Bedingung  müsstet ihr ja in der Vorlesung oder im Script behandelt haben.

zu untersuchen ist für y'=f(x,y) dann |f(x,y₁)-f(x,y₂)|. Für Lipschitz Stetigkeit muss gelten:|f(x,y₁)-f(x,y₂)|<=L*|y₁-y₂|

wobei L>=0

Hier in deinem Beispiel ist f(x,y)=2*x*y

--> |f(x,y₁)-f(x,y₂)|=|2xy₁-2xy₂|=|2x|*|y₁-y₂| --> L=|2x|>=0 --> Lipschitz Bedingung für alle (x,y) erfüllt, also global.

b) Das Iterationsverfahren lautet:

y_n+1=y₀+∫_x0^xf(t,y_n)dt

y₀(x)=c

--> x=x₀=0, y=c

y₁=c+∫₀^x2*t*c*dt=c+c*x²=c*(1+x²)

y₂=c+∫₀^x2*t*c*(1+t²)dt=c+c*∫₀^x (2t+2t³)dt=c+c*(x²+1/2*x⁴)=c*(1+x²+1/2*x⁴)

Vermutung ist dann y_n=c*∑_n=0 ^∞ x²ⁿ/(n!) was man mit Induktion beweisen kann.

c*∑_n=0 ^∞ x²ⁿ/(n!) ist die Reihendarstellung von c*e^{x^2}, was die Differentialgleichung auch erfüllt, da d/dx c*e^{x^2}=2x*c*e^{x^2}

Comments

Danke für deine Gute erklärung, hat mir sehr geholfen!

Ich werde das beispiel jetzt noch mal zu Fuß durchgehen! LG