Die Differentialgleichung des physikalischen Pendels ist $$ y''=-\sin { (y). } $$ Es sei \( \psi:\) \(]-\frac { 1 }{ 2 }, \frac { 1 }{ 2 } [\) \(\rightarrow ℝ\) die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe mit Anfangsbedingung \( y(0) = 0\) und \(y'(0) = 1. \)
1)
Schreiben Sie diese Differentialgleichung als System \(Y'= f(x, Y )\) erster Ordnung.
2)
Zeigen Sie, dass durch \( \Phi :\) \(]-\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } [ \) \(\rightarrow ℝ,\) \( \Phi (x)=\begin{pmatrix} \sin { x } \\ \cos { x } \end{pmatrix},\) eine Näherungslösung der Differentialgleichung aus 1) zur Näherung \( \epsilon =\frac { 1 }{ 48 } \) gegeben wird. Der \({ ℝ }^{ 2 }\) sei dabei mit der Maximumsnorm versehen.
3)
Geben Sie nun konkrete Funktionen \( a \) und \( b \) an, so dass \( a(x)\le \psi (x)\le b(x) \) für alle \( x \) mit \( 0\le x\le \frac { 1 }{ 2 } \) und \( b\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) -a\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \le \frac { 1 }{ 20 } \).
Hinweis: Verwenden Sie folgenden Satz über die Parameterabhängigkeit der Lösung:
Sei J ⊆ ℝ ein offenes Intervall, sei V ⊆ ℝn offen, und sei ƒ: J×V → ℝn stetig und Lipschitz-stetig im zweiten Argument. Es gibt also ein L > 0 mit
||f(x,y1) - f(x,y2)|| ≤ L||y1 - y2|| für alle x ∈ J, y1, y2 ∈ V.
Sei I ⊆ J ein offenes Intervall, sei x0 ∈ I, und seien φ1, φ2: I → ℝn Näherungslösungen von y' = f(x,y) zur Näherung \( { \varepsilon }_{ 1 } \) bzw. \( { \varepsilon }_{ 2 } \). Dann gilt für jedes x ∈ I $$ ||{ φ }_{ 1 }(x)-{ φ }_{ 2 }(x)|| ≤ ||{ φ }_{ 1 }({ x }_{ 0 })-{ φ }_{ 2 }({ x }_{ 0 })||{ e }^{ L|x-{ x }_{ 0 }| }+\frac { { \varepsilon }_{ 1 }+{ \varepsilon }_{ 2 } }{ L } ({ e }^{ L|x-{ x }_{ 0 }| }-1). $$
