Ausdruck ln(n)/n^s abschätzen durch konvergente Reihe?

Question

Für eine aktuelle Beweisaufgabe ist es nötig, dass ich folgenden Abschätzung finde:

$$ \frac { \ln { (n) }  }{ n^{ s } } <{ a }_{ n } $$

wobei s>1 und a_n eine von s unabhängige Folge reeller Zahlen ist, für welche die Reihe $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ n } } $$ konvergiert.


Ich hoffe jemand hätte einen Ansatz oder eine Idee für mich. Komme nach stundenlanger Suche auf keine sinnvolle abschätzung!

LG
EDIT: Hintergrund unten im Kommentar " Kontext sinnvoll:Ich möchte zeigen, dass die (reelle!) Zeta-Funktion (in Reihendarstellung) für Werte s>1 differenzierbar ist. Nun haben wir in der Vorlesung noch nicht den Satz gehabt, dass bei gleichmäßiger Konvergenz der Reihe Limesbildung und Differenzierung vertauscht werden können. Daher war mein Ansatz dieser:.... " 

Comments

Ist die Folge \( a_n \) explizit gegeben oder soll die Aussage für jede Folge \( a_n \), für die \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) konvergiert, gelten?

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Es soll eine Folge a_n explizit angegeben werden, für die diese Aussage gilt.

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Das heißt, du sollst nicht die Abschätzung finden, sondern eine Folge, die die Abschätzung erfüllt?

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Exakt! Habe mich wohl unklar ausgedrückt. Die Folge soll größer  als $$ \frac { \ln { (n) }  }{ n^{ s } } $$und unabhängig von s sein. Zudem soll ihre zugehörige Reihe konvergieren. Hoffe nun ist klar, was ich meine

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Wäre \( a_n = \frac{\log(n)}{n^s} + \frac{1}{n^2} \) so eine Folge?

Oder suchst du eine Majorante für \( \frac{\log(n)}{n^s} \)?

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Es muss zwingend eine Majorante sein. Vielleicht ist ein bisschen mehr Kontext sinnvoll:Ich möchte zeigen, dass die (reelle!) Zeta-Funktion (in Reihendarstellung) für Werte s>1 differenzierbar ist. Nun haben wir in der Vorlesung noch nicht den Satz gehabt, dass bei gleichmäßiger Konvergenz der Reihe Limesbildung und Differenzierung vertauscht werden können. Daher war mein Ansatz dieser:Ich zeige, dass$$\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ s } }  } $$ für s>1 konvergiertIch betrachte dann die Funktion$$ g(s,n)\quad =\quad \frac { 1 }{ { n }^{ s } } $$ für s>1 und natürliche Zahlen nDann entspricht das Integral über die natürlichen Zahlen mit festen s>1 gerade der Zeta-Funktion ist daher endlich und ist insbesondere Lebesgue-Integrierbar.Wenn ich jetzt noch zeige,dass$$\left| \frac { \partial  }{ { \partial  }_{ s } } g(s,n) \right| =\quad \frac { log(n) }{ { n }^{ s } } \le \quad F(n)$$für ein F(n) Lebesgue-Integrierbar, dann weiß ich, dass:$$ f(s)=\quad \int _{ N  }^{  }{ g(s,n)dn\quad =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ s } }  } \quad  } $$ differenzierbar ist und$$\frac { \partial  }{ { \partial  }_{ s } } f(s)=\quad \int _{ N  }^{  }{ \frac { \partial  }{ { \partial  }_{ s } } g(s,n)dn\quad =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { \partial  }{ { \partial  }_{ s } } \frac { 1 }{ { n }^{ s } }  } \quad  } $$Mir fehlt dazu nur noch die Majorante für die Partielleableitung. Vielleicht ist dieser Ansatz auch überhaupt nicht Zielführend und ich habe irgendwo einen Denkfehler...

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Eine solche Folge (a_n) wirst du nicht finden.

Der Grenzwert  G(s) = ∑_n=1∞ ( (ln n) / n^s )  existiert zwar, wie die konvergente Majorante  ∑_n=1∞ ( 1 / n^t )  mit  1 < t < s  zeigt, dort wäre a_n aber noch von s abhängig.

Wegen  lim_s→1 G(s)  =  ∞  kann es aber keine von s unabhängige Folge (a_n) geben, weil dann G(s) ≤ ∑_n=1∞ (a_n)  sein müsste.

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Das leuchtet mir ein. dann werde ich mir wohl eine andere Beweisidee überlegen müssen