Herleitung Formel einer rekursiv definierte Folge

Question

Folgende Aufgabe:

Leiten sie für die rekursiv definierte Folge a_n+1= 1/4 * a_n - 1/2, a₁=1

eine explizite Formel her, beweisen sie diese Formel mittels vollständiger Induktion und untersuchen sie die Konvergenz der Folge.

Ich scheitere leider schon am ersten Teil der Aufgabe. Ich sehe zwar das immer Potenzen von 4 im Nenner stehen aber ich schaffe es nicht eine Formel dafür aufzustellen.

Answer 1

berechne die ersten Folgenglieder um zu erkennen wie die Formel lauten könnte  (vereinfache dein Ergebnis aber nicht, da ansonsten die Struktur der Formel verloren geht).

Bsp: a₄=(1/4)³-[(1/4)²+(1/4)¹+(1/4)⁰]*1/2

--> Ansatz : a_n=(1/4)^n-1-1/2*∑_k=0 ^n-2 (1/4)^k

Die Induktion dazu passt auch.

Bei der Konvergenz kannst du nutzen, dass (1/4)ⁿ gegen null geht und bei der Summe handelt es sich um eine geoemtrische Reihe.

Comments

Ok danke das hab ich verstanden nur bei der Induktion weis ich im Moment nicht weiter. Stimmt das das die Reihe gegen -2/3 konvergiert und somit auch die Folge?

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Ja, die Folge konvergiert gegen -2/3.

Wenn du Probleme bei der Induktion hast,nimm lieber die Formel von Mathecoach. Sie ist identisch zu meiner, aber die Umformungen sind dort einfacher zu zeigen.

Answer 2

Probiers mal mit

an = (5/4^{n - 1} - 2)/3

Habt ihr nicht besprochen, wie ihr explizite Formeln aus rekursiven herleiten könnt. Dann solltest du da nochmal nachlesen.