Cauchy-Kriterium auf rekursiv definierte Folge anwenden

Question

Aufgabe:

Vor.: c ∈ ℂ, |c| < \( \frac{1}{4} \), (a_n)_n ∈ ℂ ist definiert durch a₀ = 0, a_n+1 = a_n²+c

Zeige mit dem Cauchy-Kriterium, dass (a_n)_n konvergiert

Tipp: Zeige |a_n| ≤ \( \frac{1}{4} \)+|c| für alle n∈ℕ

Problem/Ansatz:

Den Tipp habe ich bewiesen.

Da die Folge rekursiv ist und ich demnach nicht ausnutzen kann, dass m,n ≥ n₀, weiß ich gar nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.

Ich hab einfach rum probiert |a_m-a_n| geeignet umzuformen und abzuschätzen, aber leider komme ich trotzdem nicht weiter.

Anmerkung:

Wir haben vorher bewiesen, dass eine Folge (a_n)_n in |K eine Cauchyfolge ist, wenn gilt:

Es gibt ein q∈ℝ_≥0 mit q<1, sodass |a_n+1-a_n|≤qⁿ für alle n∈ℕ.

Allerdings weiß ich nicht, ob sich das vorige besser eignet, als die allgemeine Definition der Cauchyfolge.

Comments

Vielleicht hilft folgende Rechnung weiter:$$\begin{aligned}\lvert a_{n+1}-a_n\rvert&=\lvert a_n^2-a_{n-1}^2\rvert=\lvert(a_n+a_{n-1})\cdot(a_n-a_{n-1})\rvert\\&\le\big(\rvert a_n\rvert+\lvert a_{n-1}\rvert\big)\cdot\lvert a_n-a_{n-1}\rvert\\&<\underbrace{\big(\tfrac12+2\lvert c\rvert\big)}_{{\coloneqq q<1}}\cdot\lvert a_n-a_{n-1}\rvert.\end{aligned}$$

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Vielen Dank für deine Antwort, das hat mir schonmal weiter geholfen :)