Funktion dritter Ordnung bestimmen

Question

Das Schaubild einer Funktion 3.Ordnung hat im Ursprung eine positive Steigung.

Und hat einen Wendepunkt bei P(2/0).

Das Schaubild schliesst mit x-Schse im ersten Feld A=4 ein.(Flächeninhalt)

Bestimme die funktion

Answer 1

Ansatz:

f(x) = ax(x-2)(x- b)

Nun ausmultiplizieren,

2. Ableitung ausrechnen, null setzen

--> nur noch eine Unbekannte.

1. Fall b nicht Element (0,2) 

Integral von 0 bis 2 ausrechnen und = 4 setzen.

--> Unbekannte ausrechnen.

2. Fall b zwischen 0 und 2

Integral von 0 bis b ausrechnen und = 4 setzen. 

---> Unbekannte ausrechnen.

Der 2. Fall dürfte auf einen Widerspruch führen, das P(2|0) der Wendepunkt ist. Überlege dir noch eine geometrische Abkürzung direkt zu b = 4. 

Comments

Ih hatte mir zunöchst eine annäherung versucht mit

f(0)=0

f(2)=0

f(4)=0

f"(2)=0

Dann matrix dann kam bei mir nullfunktion raus.

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Geometrischerer Ansatz:

Benutze die Symmetrie beim Wendepunkt von Funktionen 3. Grades und schreibe von Anfang an.

f(x) = ax(x-2)(x- 4)

Nun ausmultiplizieren und von 0 bis 2 integrieren.  (a kannst du als Konstante vor das Integral schreiben). 

Resultat der Integration 4 setzen und so dann den Parameter a bestimmen.  

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Yo das war mein gedanke zumidest fast^^

Das mit der symmetrie war mir klar deswegen ja auch diese form^^.

Aber warum kam mit der matrix eine nullfunktion raus?

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Die Nullfunktion ist eine Lösung der Gleichungen, die du hingeschrieben hast. Aber es gibt ja mehrere.

Und du solltest um a zu bestimmen eine Angabe benutzen, die du nicht schon in deinem Ansatz berücksichtigt hast. Dazu ist nur noch das Integral geeignet.

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Achso alles klar.

Aber warum hat matrix nicht geklappt mit dem taschenrechner^^

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Tut er hoffentlich schon, wenn du die Bedingung mit dem Integral auch noch eingibst.

Kann natürlich sein, dass ihn ein Parameter überfordert.

WA kann das https://www.wolframalpha.com/input/?i=a*+integral+(x(x-2)(x-+4))+dx+from+0+to+2%3D+4

und bekommt a = 1 raus.

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Ich überprüfe mein ergebnis nochmal^^

Danke sehr ;)

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Bitte. Gern geschehen. Mach das.

Answer 2

Das schaubild einer 3.ordnung hat im ursprung eine postive steigung.

Und hat einen wendepunkt bei p(2/0).

Das schaubild schliesst mit x-achse im ersten feld A=4.(fläceninhalt)

f ( 0 ) = 0
f ( 2 ) = 0
f '' ( 2 ) = 0

f ( 0 ) = 0
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d  => d = 0
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x

f ( 2 ) = 0
f ( x ) = a * 2^3 + b * 2^2 + c * 2  = 0
8 * a  + 4 * b  + 2 * c   = 0


f '' ( 2 ) = 0
f ´ ( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b
f ´´ ( 2 ) = 6 * a * 2 + 2 * b = 0
12 * a  + 2 * b = 0

S  a * x^3 + b * x^2 + c * x  dx
a * x^4 / 4 + b * x^3 / 3 + c * x^2 / 2

[ a * x^4 / 4 + b * x^3 / 3 + c * x^2 / 2 ] zwischen 0 und 2 = 4
4 * a + 8 / 3 * b + 2 * c = 4

Insgesamt 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

a = 1
b = -6
c = 8

f ( x ) = x^3 - 6 * x^2 + 8 * x

~plot~ x^3 - 6 * x^2 + 8 * x ~plot~