Ringhomomorphismus zeigen, kern von phi

Question

Sei R ein Ring. Die Abbildung φ:ℤ→ℝ ist definiert durch φ(i)= 1+1+1+...+1 (das ganze i-mal)

1. Zeige dass φ ein Ringhomomorphismus ist.

2. Zeigen sie dass ein n ∈ℕ₀ existiert mit ker(φ)= nℤ

3.Zeigen sie dass n=0 oder n eine Primzahl ist, wenn R keine Nullteiler besitzt

Die 1.) kriege ich noch mit dem Ringhomomorphiesatz hin aber auch nur für Addition und nicht Multiplikation. Bei der 2 und 3 habe ich leider kleine  Ahnung wie ich es zeigen soll

Comments

Du hast oben aus Versehen \( \mathbb{R} \) geschrieben, meinst aber wahrscheinlich den Ring \( R \), sprich \( \varphi: \mathbb{Z} \rightarrow R \)?

Hier kannst du übrigens TeX üben: https://www.matheretter.de/rechner/latex. Hat aber nichts mit deiner Aufgabe zu tun :)

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Und wie ist denn   φ(i) für i< 0 definiert ?

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Dann ist φ(i)=0 ?

Hilft mir dass den bei der b:9 und c) ?

Also die a.) habe ich jetzt für Multiplikation und Addition des  Homomorphiesatzes bewiesen.

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oder φ(i) ist darauf gar nicht definiert..

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Es ist \( \varphi(-i) = -\varphi(i) \), denn \( \varphi \) ist ein Homomorphismus.

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aber wie soll mir dass helfen zu zeigen dass ein n für den Kern existiert?

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Nicht direkt. Es hilft dir nur, den Homomorphismus auf negative ganze Zahlen fortzusetzen.

Das \( n \) für den Kern ergibt sich aus der Charakteristik des Ringes \( R \): \( n = \text{char}(R) \).

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Es ist φ(−i)=−φ(i), denn φ ist ein Homomorphismus.

Aber das soll man ja in a gerade zeigen, müsste also auch so definiert sein.

Zeigen sie dass ein n ∈ℕ₀ existiert mit ker(φ)= nℤ

wenn es so ist, dass für alle i ≠ k  aus ℤ gilt

φ(i) ≠ φ(k)   dann ist Ker(φ) = {0} und damit gleich  0* ℤ

Sollte für i >0 und  i ≠ k  irgendwann mal  φ(i)  = φ(k) gelten,

also wegen Hom      φ(i-k ) = 0  und damit i-k aus dem Kern von   φ.

Also   Kern( φ) = { n aus ℤ  |   Es gibt  i,  k aus  ℤ   n= i-k  und    φ(i)  = φ(k)  }

und mit n aus   Kern( φ)  ist auch für jedes m aus ℤ    wieder n*m aus   Kern( φ) .

Und wenn n das kleinste pos. El. aus  Kern( φ) ist, dann sind das alle
Vielfachen von n, also    Kern( φ)  = n*  ℤ

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Nicht direkt. Es hilft dir nur, den Homomorphismus auf negative ganze Zahlen fortzusetzen.

Nach meinem Gefühl gehört das in die ( sowieso etwas schlappe) Definition.

denn wenn ich nur weiß:

 φ:ℤ→ℝ ist definiert durch φ(i)= 1+1+1+...+1 (das ganze i-mal)

ist das nach meinem Gefühl für neg. i gar nicht definiert;

denn  eine Summe mit -7 Summanden macht keinen Sinn.

Also hätte wohl sowas mit dahin gehört:

Setze   φ sinnvoll fort, damit ein Hom. entsteht.

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Wow vielen Dank! So macht die b.) definitv Sinn!

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@mathef: Wenn es nicht so definiert wäre, wäre es kein Homomorphismus.

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@gastek: Über die Charakteristik eines Ringes kannst du dich auch hier belesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristik_(Algebra).

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@mathef: Wenn es nicht so definiert wäre, wäre es kein Homomorphismus.

eben

Deshalb finde ich die Aufgabenstellung Banane

Answer 1

$$\phi (i)=1+1+\dots 1 $$ Um zu zeigen dass φ ein Ringhomomorphismus ist muss man zeigen dass φ(a+b)=φ(a)+φ(b) und φ(ra)=rφ(a).

$$\phi (a+b)=\underset{a+b \text{ mal }}{\underbrace{1+1+\dots +1+1}}=\underset{a \text{ mal }}{\underbrace{1+\dots +1}}+\underset{b \text{ mal }}{\underbrace{1+\dots +1}}=\phi (a)+\phi (b) \\ \phi (ra)=\phi (\underset{r \text{ mal }}{\underbrace{a+a+\dots +a+a}})=\phi (a+\underset{r-1 \text{ mal }}{\underbrace{a+a+\dots +a+a}}) \\ =\phi (a)+\phi (\underset{r-1 \text{ mal }}{\underbrace{a+a+\dots +a+a}})  =\phi (a)+\phi (a+\underset{r-2 \text{ mal }}{\underbrace{a+a+\dots +a+a}}) \\ =\phi (a)+\phi (a)+\phi (\underset{r-2 \text{ mal }}{\underbrace{a+a+\dots +a+a}}) =\dots = \underset{r \text{ mal }}{\underbrace{\phi (a)+\phi (a)+\dots +\phi (a)+\phi (a)}} \\ =r\phi (a)$$