Warum gilt für alle x ≥ 0 die Abschätzung sin(x) ≤ x gilt. (Taylor-Formel)

Question

Hi,

ich würde gerne wissen wie man unter Verwendung des Integralrestglieds der Taylor-Formel zeigt, dass fur alle  x ≥ 0 die Abschätzung sin(x) ≤ x gilt.

Answer 1

mit Taylor :

sin(x) = sin(0) + cos(0) * x   + Rest   =  0 + x  + Rest

Und das Integralrestglied gibt für den Rest

Integra von 0 bis x über ( x-t) ^2 / 2   * (- sin(t))  dt  

= (- 2cos(x) - x^2 + 2 ) / 2

Und jetzt bräuchte man ein Argument, warum das nie positiv ist

( im Plotter sieht es so aus, aber das ist ja etwas schwach)

dann hätte man  sin(x) =   x  + Rest

und wenn der Rest nie positiv ist, wäre immer  sin(x) ≤ x.

Comments

Also für x>1 ist auf jeden Fall das x^2 stets größer als -2cos(x) +2, was dazu führt, dass durch ihre Subtraktion eine negative Zahl entsteht. Für die Fälle x=0 und x=1 könnte man das dann separat zeigen.

Würde das als Argumentation ausreichen?

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wie ist es zwischen 0 und 1 ?

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Wobei, eigentlich gilt ja für alle x>0, dass x^2 > -2cos(x)+2, oder?

Lediglich bei x=0 kommt als Ergebnis 0 heraus.

Die Frage ist jetzt nur, ob man 0 als positive Zahl zählen kann..

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sicher nicht. 0 ist weder pos. noch neg.

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Dann ist es ja gar nicht positv, oder doch? Wie hättest du es denn beweisen,stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch

Answer 2

es gilt sin(x)=x+R₂(x,0)=x+f^{1+1}(c)*x^{1+1}/(1+1)!=x-sin(c)*x^2/2, mit c ∈[0,x]

nun ist aber aber für x>=0 auch c>=0, und auch sin(c) ist größer Null, solange x<π.

-->x-sin(c)*x^2/2<=x für x∈ [0,π) --> sin(x)<=x für x∈ [0,π)

Den Fall x>=π kannst du mit der Beschränktheit vom Sinus beweisen