Probleme bei einer Aufgabe mit Taylorpolynom

Question

Es geht um das Taylorpolynom 4.Grades von f(x)=sinh(x).

Laut Aufgabe soll ich zeigen, dass folgende Abschätzung für |x|<=1 gilt:

|sinh(x) - T4(x;0)| <= 1/60.

( Für T4(x;0) habe ich T4(x;0) = 2x+ (2/6)x^3 heraus)

Wenn ich aber x=1 einsetze, kommt eine Zahl heraus, die größer ist als 1/60.

Habe irgendwo einen Feher gemacht?

Answer 1

Es ist cosh(0) = 1

also  T4(x;0) = x+ (1/6)x³

und T4(1) = 7/6  ungefähr1,16  und sinh(1) ungefähr 1,17

also der Unterschied etwa 0,0085   < 1/60

Comments

Sollte man nicht eventuell diese Abschätzung mit dem Restglied machen?

Zumindest hätte ich das so gemacht.

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Aber reicht es einfach zu zeigen, dass es nur für 1 stimmt?

Man muss das doch für alle |x|<=1 zeigen. Jemand eine Ahnung, wie man das machen kann?

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Klar muss man das für alle |x| ≤1 machen.

Ich wollte nur auf das falsche Taylorpolynom verweisen.

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Das Restglied ist doch hier

|  sinh⁽⁵⁾(ξ) * x^5  / 5! |

nun ist sinh⁽⁵⁾ = cosh   und für  |ξ| ≤ 1  ist     cosh⁽⁵⁾(ξ) < 2

Für |x| ≤ 1    ist   |   x^5 |   ≤ 1  also gilt

|  sinh⁽⁵⁾(ξ) * x^5  / 5! |  = |  cosh⁽⁵⁾(ξ) * x^5  / 5! |

≤  2 * 1  /  5!    = 2 / 120  =  1/60

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Aber auf dem Aufgabenblatt steht wirklich T4(x;x0). Könntest du vielleicht den Beweis auch damit machen?

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|sinh(x) - T4(x;0)|  ist der Rest   Also durch Abschätzung

von   |  sinh⁽⁵⁾(ξ) * x⁵  / 5! |    zu bestimmen.

schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedabsch.C3.A4tzung