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Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Es seien f,g:[a,b]→ℝ zwei beschränkte Funktionen, Z eine Zerlegung von [a,b] und c ∈ℝ≥0. 
Zeigen sie:
(a) OS(f+g, Z) ≤ OS(f,Z)+OS(g,Z)
(b) OS(cf,Z) ≤ cOS(f,Z)
(c) OS(I f I, Z) - US(I f I, Z)≤OS(f,Z)- US(f,Z)
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OS und US soll wahrscheinlich Obersumme und Untersumme heissen.

Das kannst du so mal googeln.

Ja, heißt es und habe ich. Half mir nur nicht weiter

Gut. Ich habe nun mal die Überschrift in dieser Richtung präzisiert und denke, dass du bald Hilfe bekommst.

Spiele das Ganze mal mit f(x) = x+1 und g(x) = 3 - x und einer sehr groben Zerlegung durch, damit du siehst, dass da nicht einfach Gleichheit gilt.

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Es seien f,g:[a,b]→ℝ zwei beschränkte Funktionen,

Z eine Zerlegung von [a,b] und c ∈ℝ≥0.

OS ist Obersumme ???

OS(f+g, Z) ≤ OS(f,Z)+OS(g,Z)

Die Ungleichung gilt für jeden einzelnen Summanden

der Obersumme, also auch für die ganze Summe.

Denn zwischen zwei Punkten xk und xk+1 der Zerlegung gilt

wenn   sf =   sup( f ) zwischen  xk und xk+1   und

sg =   sup( f ) zwischen  xk und xk+1    dann ist

s = sup( f+g  ) zwischen  xk und xk+1   ≤ sf  +  sg .        #

Und die entsprechenden Summanden der OS sind

s*(  xk+1   -  xk )  und   sf *(  xk+1   -  xk ) + sg *(  xk+1   -  xk )  =  (sf+sg)*(  xk+1   -  xk )

und es  folgt

s*(  xk+1   -  xk )  ≤    (sf+sg)*(  xk+1   -  xk )    sofort aus #.

Avatar von 287 k 🚀

Ist dein "s" deine Abkürzung für supremum? Ansonsten verstehe ich nicht wo es sonst herkommt. Kanns du mir bei den anderen Nummern helfen?

Durch :

  dann ist   s = sup( f+g  )  ...

wollte ich andeuten, dass ich dieses sup so abgekürzt s nenne.

Bei b) ist es doch ähnlich

man muss sup ( c*f) mit c* sup(f) vergleichen.

und da gilt die behauptete Ungleichung wegen c≥ 0 doch auch.

Ein anderes Problem?

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