Äquipotenziallinien von f(x, y) = x^2 + 4xy + 4y^2

Question

Hi, kann mir jemand sagen was die Äquipotenziallinien von f(x, y) = x^2 + 4xy + 4y^2 sind und wie man sie berechnet?

Answer 1

Aequipotentiallinien verbinden Punkte mit gleichem Potential.

Unter er Annahme dass  f(x, y) = x² + 4xy + 4y²   jeweils ein Potential an der Stelle (x|y) ausrechnet, gilt:

Aequipotentiallinien haben alle Gleichungen, die so aussehen: 

k  = x² + 4xy + 4y²        , k = Potential 

k = (x + 2y)^2                | binomische Formel

usw. 

Comments

Bin gerade am Überlegen, ob ich eine neue Frage daraus mache oder es einfach als Kommentar hier verfasse.

Ich würde gerne wissen, wie es aussehen muss, wenn man anhand dieser Aufgabe die Nievaulinien ausrechnen müsste. Also wie man dann zum Ergebnis kommt.

(falls erwünscht kann ich daraus auch eine neue Frage machen)

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Das wurde in der zweiten Antwort schon ausgerechnet.

Du kannst auch den Contourplot von Wolframalpha ansehen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,+y)+%3D+x%5E2+%2B+4xy+%2B+4y%5E2

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Achso, also sind "Potenziallinien" und "Niveaulinien"  dasselbe? Weil bei seiner Antwort steht "Potenziallinien"

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Das habe ich auch einmal so angenommen, da du über f nichts Weiteres verraten hast.

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Hätte sich etwas geändert, wenn ich Df ⊆ R2 und Wf ⊆ R dazu geschrieben hätte?

Ich verstehe gerade nicht wirklich den Unterscheid zwischen Niveaulinien, Potenziallinien und Äquipotentiallinien

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Nein. Das hätte nichts geändert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Äquipotentialfläche

"Potenzial" kannst du einfach physikalisch auf mehrere Arten interpretieren. Nimm einfach mal an, dass f jedem Punkt von R^2 gerade sein "Potenzial" zuordnet.

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Ja, mit Potentiallinien/Niveaulinien/Äquipotentiallinien habe ich dasselbe gemeint.

Answer 2

f(x,y)=x^2+4xy+4y^2

Potentiallinien:

f(x,y)=c

x^2+4xy+4y^2=c>=0

(x+2y)^2=c>=0

|x+2y|=√c

y=±1/2*√(c)-x

C:(x,y)=(x,±1/2*√(c)-x

Comments

Wärst du vielleicht so nett das Ganze nochmal für Niveaulinien auszurechnen?

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Das sind schon die Nieveaulinien.

Endergebnis:

C: ℝ-->ℝ^2 , x|--> (x,±1/2*√(c)-x), wobei c eine positive Konstante ist.

Das sind Geraden in der x-y Ebene

f(x)=±1/2*√(c)-x