Selbstadjungierter Endomorphismus und Skalarprodukt

Question

Lineare Algebra überfordert mich mal wieder.

Also es ist ein euklidischer Vektorraum V gegeben und v,w ∈ V sei Φ_v,w ∈ End(V) gegeben durch

Φ_v,w(x) := ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v

Dazu folgende Aufgaben:

a)  ⟨Φ_v,w(x),y⟩ = ⟨x,Φw,v(y)⟩ für alle x,y ∈ V

b)  Für alle x ∈ V steht Φ_v,w(x) senkrecht auf x

c) Φ_v,w ist genau dann selbstadjungiert, wenn v und w linear abhängig sind

Answer 1

 Φ_v,w(x) := ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v

Gesetze über Skalarprodukt anwenden:

⟨Φ_v,w(x),y⟩

=  ⟨ ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v  , y ⟩

=  ⟨ ⟨v,x⟩ * w ,y  ⟩  -   ⟨ ⟨   w,x⟩ *v  , y ⟩

=   ⟨v,x⟩ * ⟨w ,y  ⟩  -  ⟨   w,x⟩ * ⟨ v  , y ⟩

=   ⟨w,y⟩ * ⟨x,  v ⟩  -  ⟨v,y⟩ * ⟨x,w ⟩

=  ⟨x,  ⟨w,y⟩ * v ⟩  -   ⟨x, ⟨v,y⟩ *w ⟩

=  ⟨x,  ⟨w,y⟩ * v - ⟨v,y⟩ *w ⟩

= ⟨x,Φw,v(y)⟩

Comments

b)  Für alle x ∈ V steht Φ_v,w(x) senkrecht auf x

d.h.   ⟨Φ_v,w(x),x⟩ = 0

mit    Φ_v,w(x) := ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v  also

  ⟨ ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v  , x    ⟩
=  ⟨ ⟨v,x⟩ * w ,x   ⟩ -     ⟨  ⟨w,x⟩ *v  , x    ⟩
=    ⟨v,x⟩ * ⟨ w ,x   ⟩ -     ⟨w,x⟩ *  ⟨v  , x    ⟩ 
= 0   q.e.d.

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Vielen Dank, das sieht für mich dann immer logisch und auch relativ simple aus aber irgendwie komm ich da nie selber drauf.

Hast du was für die c)?

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Φ_v,w selbstadjungiert heißt doch wohl:

Für alle x,y aus V gilt   ⟨Φ_v,w(x),y⟩ = ⟨x,Φv,w(y)⟩

vielleicht kann man da so ähnlich wie bei a) was rumrechnen

und merkt dann:

Wenn das gilt, dann gibt es auch eine Zahl c mit

v = c*w , also v,w lin. abh.