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Lineare Algebra überfordert mich mal wieder.

Also es ist ein euklidischer Vektorraum V gegeben und v,w ∈ V sei Φv,w ∈ End(V) gegeben durch

Φv,w(x) := ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v

Dazu folgende Aufgaben:

a)  ⟨Φv,w(x),y⟩ = ⟨x,Φw,v(y)⟩ für alle x,y ∈ V

b)  Für alle x ∈ V steht Φv,w(x) senkrecht auf x

c) Φv,w ist genau dann selbstadjungiert, wenn v und w linear abhängig sind

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 Φv,w(x) := ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v

Gesetze über Skalarprodukt anwenden:

⟨Φv,w(x),y⟩

=  ⟨ ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v  , y ⟩

=  ⟨ ⟨v,x⟩ * w ,y  ⟩  -   ⟨ ⟨   w,x⟩ *v  , y ⟩

=   ⟨v,x⟩ * ⟨w ,y  ⟩  -  ⟨   w,x⟩ * ⟨ v  , y ⟩

=   ⟨w,y⟩ * ⟨x,  v ⟩  -  ⟨v,y⟩ * ⟨x,w ⟩

=  ⟨x,  ⟨w,y⟩ * v ⟩  -   ⟨x, ⟨v,y⟩ *w ⟩

=  ⟨x,  ⟨w,y⟩ * v - ⟨v,y⟩ *w ⟩

= ⟨x,Φw,v(y)⟩

von 152 k
b)  Für alle x ∈ V steht Φv,w(x) senkrecht auf x

d.h.   ⟨Φv,w(x),x⟩ = 0

mit    Φv,w(x) := ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v  also

  ⟨ ⟨v,x⟩ * w - ⟨w,x⟩ *v  , x    ⟩
=  ⟨ ⟨v,x⟩ * w ,x   ⟩ -     ⟨  ⟨w,x⟩ *v  , x    ⟩
=    ⟨v,x⟩ * ⟨ w ,x   ⟩ -     ⟨w,x⟩ *  ⟨v  , x    ⟩
= 0   q.e.d.

Vielen Dank, das sieht für mich dann immer logisch und auch relativ simple aus aber irgendwie komm ich da nie selber drauf.

Hast du was für die c)?

Φv,w selbstadjungiert heißt doch wohl:

Für alle x,y aus V gilt   ⟨Φv,w(x),y⟩ = ⟨x,Φv,w(y)⟩

vielleicht kann man da so ähnlich wie bei a) was rumrechnen

und merkt dann:

Wenn das gilt, dann gibt es auch eine Zahl c mit

v = c*w , also v,w lin. abh.

Ein anderes Problem?

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