Selbstadjungierter Endomorphismus mit kleinstem und größtem Eigenwert: Ungleichung zeigen

Question

ich verzweifle seit Stunden an dieser Aufgabe

Sei ( \( V,\langle, \) )) ein euklidischer Vektorraum und sei

\( f: V \rightarrow V \) ein selbstadjungierter Endomorphismus mit kleinstem Eigenwert
\( \mu \in \mathbb{R} \) und grösstem Eigenwert \( \lambda . \) Zeigen Sie, dass für alle \( v \in V, v \neq 0 \) gilt
$$ \mu \leq \frac{\langle f(v), v\rangle}{\langle v, v\rangle} \leq \lambda $$

Wisst ihr, wie das geht?

Answer 1

Hallo,

(ich gehe davon aus, dass V endlich-dimensional ist) verwende eine vollständige orthonormale Basis \((v_1,, ..., v_n)\) aus Eigenvektoren und benutze für \(v \in V\) die Darstellung

$$v=\sum_{i=1}^n \langle v,v_i \rangle v_i$$

Gruß

Answer 2

Hallo,

nehmen wir an, dass es sich bei \( V \) um einen endlichendimensionalen Vektorraum handelt. Da der Endomorphismus \( f \) selbstadjungiert ist, gibt es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von \( f \), die \( b_i \) seien.

Wir zerlegen \( v \) in \( v = \sum_i\limits \langle v, b_i \rangle b_i \) und erhalten \( f(v) = \sum_i\limits \langle v, b_i \rangle f(b_i) \).

Wir berechnen nun

\( \langle v, f(v) \rangle = \left\langle \sum_i\limits \langle v, b_i \rangle b_i, \sum_j\limits \langle v, b_j \rangle f(b_j) \right\rangle \)
\( = \sum_{ij} \langle v, b_i \rangle \langle v, b_j \rangle \langle b_i, f(b_j) \rangle \)
\( = \sum_{ij} \langle v, b_i \rangle \langle v, b_j \rangle \lambda_j \langle b_i, b_j \rangle \)
\( \leq \lambda \sum_{ij} \langle v, b_i \rangle \langle v, b_j \rangle \langle b_i, b_j \rangle \)
\( = \lambda \sum_{i} \langle v, b_i \rangle \langle v, b_j \rangle \)
\( = \lambda \langle v, v \rangle \)

und beachten \( \langle v, v \rangle \geq 0 \). Ist \( \lambda \) der kleinste Eigenwert von \( f \), in der Aufgabe wird dieser als \( \mu \) bezeichnet, so ändert sich entsprechend das Zeichen \( \leq \) zu \( \geq \).



Mister

Comments

Hallo,

ich verstehe Deinen Beitrag nicht.

Du scheinst eine Ungleichung aufgeschrieben zu haben: \(f(v) \leq \lambda v\). In einem allgemeinen Vektorraum gibt es keine Halbordnung, Wie sollte diese mit dem Skalarprodukt zusammenhängen?

Außerdem benutzt Du die Notation \(v_k\), ohne sie zu erklären.

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Immer, wenn man ein Skalarprodukt hat, besitzt man auch eine Norm (\(|v|:=\sqrt{\langle v,v\rangle}\)), du kannst also wenigstens im Betrag hier argumentieren, und das sollte reichen.

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@MathePeter: Das stimmt. Allerdings ist dieser Ausdruck kein Teil der Beweiskette, daher lösche ich ihn jetzt mal.

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Ahhh, aus der der Selbstadjungiertheit von f folgt, dass eine solche Orthonormalbasis gibt; danke, dein Beweis ist auch toll!!!!

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Bitte, der Hinweis vom User MathePeter enthielt auch einen zweiten Punkt. Bezüglich dieses Punktes habe ich die Antwort gerade noch einmal angepasst.

Answer 3

Sei \(v_1,\ldots,v_n\) eine Orthonormalbasis zu \(V\) bestehend aus Eigenvektoren zu \(f\), mit Eigenwerten \(\mu \leq \lambda_1,\ldots,\lambda_n\leq \lambda\). Sei \(v = \sum a_i\cdot v_i\) für Koordinaten \(a_i\in \mathbb{R}\), dann ist \(f(v)=\sum (\lambda_i a_i)\cdot v_i\).

Jetzt einfach Eigenschaften des Skalarprodukts ausnutzen und Umformen:

\(\langle f(v),v)\rangle = \langle \sum (\lambda_i a_i)\cdot v_i,v\rangle = \sum (\lambda_i a_i)\cdot \langle v_i,v\rangle \leq \lambda\cdot \sum a_i\cdot \langle v_i,v\rangle = \lambda\cdot\langle v,v\rangle\), was die Aussage beweist. Die andere Ungleichung funktioniert analog.

Comments

Vielen Dank, das ist ein sehr schöner Beweis. Nur, woher weiß man, dass f genügend Eigenvektoren besitzt, um eine Basis von V zu generieren? Könnte nicht z.B. V dreidimensional sein, aber f nur zwei einfache Eigenwerte besitzen?

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Außerdem benutzen wir die Voraussetzungen, dass f selbstadjungiert und v ≠ 0, nicht. Mir ist nicht ersichtlich, warum man das beides voraussetzen muss, aber dir vllt?

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\(v\neq 0\) benutzt man dort, wo man durch \(\langle v,v\rangle\) teilt, denn das ist \(0\) genau dann, wenn \(v=0\).

Deine erste Frage klärt sich, wenn ich dir erkläre, wo ich benutze, dass \(f\) selbstadjungiert ist, nämlich besitzen alle selbstadjungierten Endomorphismen eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Das solltet ihr im besten Fall in der Vorlesung bereits bewiesen haben.