Anti-selbstadjungierter Endomorphismus

Question

Aufgabe: Sei (V, ⟨· , ·⟩) ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei f: V→V ein anti-selbstadjungierter Endomorphismus mit ⟨f(v),w⟩ = -⟨v. f(w)⟩.

Problem: Wie beweist man: Ist f anti-selbstadjungiert und λ∈ℝ ein Eigenwert von f, dann gilt λ=0?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

das beweist man so: Sei \( v \) ein Eigenvektor von \( f \) zum Eigenwert \( \lambda \). Dann ist

\( \lambda \langle v, v \rangle = \langle f(v), v \rangle = - \langle v, f(v) \rangle = -\lambda \langle v, v \rangle \).

Für \( v \neq 0 \) steht da \( \lambda = -\lambda \). Daraus folgt \( \lambda = 0 \).

Grüße

Mister