Taylor-Reihe ohne komplizierte bzw. aufwendige Ableitungen lösen

Question

Die Taylorreihe von $$ \ln(1+x^2) $$ mit dem Entwicklungspunkt a=0 soll bestimmt werden. Die Ableitunge sind aber sehr aufwendig und es ist relativ schwer eine alg. Regel für die n-te Ableitung zu finden. Gibt es eine Substitution oder etwas ähnliches, um die passende Potenzreihe zu bestimmen?

Answer 1

die Taylorreihe für den Logarithmus ist bekannt (bwz. lässt sich einfacher bestimmen)

ln(1+x) an der Stelle x=0:

ln(1+x) =∑_k=1^∞  (-1)^{k+1}*x^k/k

Du musst hier also lediglich x durch x^2 ersetzen:

ln(1+x^2)=∑_k=1^∞  (-1)^{k+1}*x^{2k}/k=x^2-x^4/2+x^6/3+.......