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Berechnen Sie die Taylor-Reihe der folgenden Funktion für die angegebenen Entwicklungspunkt x0 :

f(x)= ln x            für x0 =1

 

Eine Untersuchung der Konvergenz der Reihe ist nicht erforderlich

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Gemäss http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe brauchst du hier alle Ableitungen an der Stelle a = 1:

f(x) = ln x          f(1) = 0

f ' (x) = 1/x = x^{-1}        f ' (1) = 1         = (-1)^0*0!    (je nach Definition so möglich)

f ' ' (x) = - x^{-2}             f ' ' (1) = - 1      =(-1)^1*1!

f '''(x) = 2x^{-3}              f ' ' ' (1) = 2       =(-1)^2*2!

f ''''(x) = - 6x^{-4}            f''''(1) = - 6      =(-1)^3 * 3!

fn'(x) =( -1)^{n-1} * (n-1)!*x^{-n}                 fn'(1) = ( -1)^{n-1} * (n-1)!

Jetzt in Taylor-Formel einsetzen und 3! / 4! = 1/4 … kürzen

ln(x) = 0 + (x-1)^1 - 1/2 *(x-1)^2 + 1/3 *(x-1)^3 - 1/4 *(x-1)^4 - … +( -1)^{n-1} * (n-1)!/n! *(x-1)^n …

allg. kürzen

ln(x) = 0 + (x-1)^1 - 1/2 *(x-1)^2 + 1/3 * (x-1)^3 - 1/4 *(x-1)^4 - … +( -1)^{n-1}/n *(x-1)^n …

Anm: Das Resultat kannst du auf der angegebenen Wikipediaseite überprüfen. Dort findest du auch noch einen Trick uur weiteren Umformung dieser Formel.

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