Oberfläche der Hyperboloids H = {(x,y,z}€R^3| z = √(1-(x^2 + y^2), x^2 + y^2 ≤ 1}

Question

wie kann man die Oberfläche der Hyperboloids berechnen?

Answer 1

falls es noch interessiert :

z=sqrt(1-(x^2+y^2))=sqrt(1-r^2)

x^2+y^2=r^2<=1

Parametrisierung:

x=r*cos(φ)

y=r*sin(φ)

z=sqrt(1-r^2)

r∈[0,1]

φ∈[0,2π]

dA=r*√(r^2/(1-r^2)+1)drdφ

A=∫dA=∫₀^2π dφ ∫₀¹ r*√(r^2/(1-r^2)+1)dr

=2*π*∫₀¹ r*√(r^2/(1-r^2)+1)dr

substituiere x=r^2

2*π*∫₀¹ r*√(r^2/(1-r^2)+1)dr=π*∫₀¹ √(x/(1-x)+1)dx

=π*∫₀¹ √(1/(1-x))dx=π*∫₀¹ (1-x)^{-1/2}dx=2*π

Zum Vergleich:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%3Dsqrt(1-(x%5E2%2By%5E2))

Bei dem Körper handelt es sich um eine Halbkugel mit Radius 1.

Die Oberfläche einer Halbkugel mit Radius R ist A=2*π*R^2=2*π . Stimmt überein.