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Wie Bestimmt man ggT. von zwei Polynome?

Mein  Problem ist; dass ich nicht genau verstehe, welche teil als ggT. bei der Rechnung raus kommt.

 Bestimmen Sie den ggT der beiden Polynome

\( F(x)=\left(x^{5}+6 x^{4}+x^{3}-13 x^{2}-x+2\right) \) und
\( g(x)=\left(x^{3}+6 x^{2}+3 x-2\right) \)

\( \left(x^{5}+6 x^{4}+x^{3}-13 x^{2}-x+2\right):\left(x^{3}+6 x^{2}+3 x-2\right)=x^{2}-2 \)
\(\underline{ -\left(x^{5}+6 x^{4}+3 x^{3}-2 x^{2}\right)} \)
$$ \begin{array}{l} \qquad \qquad \quad {-2 x^{3}-11 x^{2}-x+2} \\ \qquad \qquad \underline{-{\left(-2 x^{3}-12 x^{2}-6 x+4\right)}} \end{array} $$
\( \qquad \qquad \qquad \qquad x^{2}+5 x-2 \quad\)

Ist das schon  ein ggT?

Muss man noch weiter rechnen oder ist untere Rechnung überflüssig ?

\( \left(x^{3}+6 x^{2}+3 x-2\right):\left(x^{2}+5 x-2\right)=x+1 \)
\(\underline{ -\left(x^{3}+5 x^{2}-2 x\right) }\)
\( \qquad x^{2}+5 x-2 \)
\(\underline{ -\left(x^{2}+5 x-2\right)} \)
\( 0\)


Probe: \( x^{2}+5 x-2= \)
\( \left(x^{5}+6 x^{4}+x^{3}-13 x^{2}-x+2\right)-\left(x^{3}+6 x^{2}+3 x-2\right)\left(x^{2}-2\right) \)

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3 Antworten

+1 Daumen

Falls ich mich richtig erinnere, ist immer der letzte, von Null verschiedene Rest der gesuchte ggT. Hier also \(x^2+5x-2\), falls die Rechnung richtig ist.

Avatar von 26 k

Das würde auch dafür sprechen, dass man weiterrechnen muss, bis das erste mal eine Null als Rest dasteht. Also die untere Rechnung in der Fragestellung ist nicht überflüssig.

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Um den ggT zweier Polynome zu finden, braucht man die Faktorenzerlegungen der beiden Polynome. Diese enthalten tatsächlich den gemeinsamen Faktor x2+5x-4. Warum das gerade der Rest bei Polynomdivision ist, weiß ich nicht.

Avatar von 123 k 🚀
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Ich vermute mal, dass das Zufall ist.

Probe mit natürlichen Zahlen.

63 : 27 = 2

54

----

.  9   ist gerade ggT.

Aber

144 : 84 = 1

..84

------

  60 ist noch nicht der ggT. 

Avatar von 162 k 🚀

Immerhin kann man behaupten, dass ggT(a,b) ein Teiler des Restes bei Division von a durch b sein muss, also zufällig auch dieser Rest sein kann.

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