Kombinatorik: Wann beachte ich die Reihenfoge und wann nicht?

Question

Hallo ihr Lieben :)

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn ich verstehe ein Prinzip der Kombinatorik überhaupt nicht. Ich kann nicht unterscheiden, wann ich die Reihenfolge berücksichtige und wann ich sie nicht berücksichtigen muss. Vielleicht kann das jemand so erklären, dass mir endlich ein Licht aufgeht.

Hier ein Beispiel aus einer Vorlesung damit ihr mich vielleicht besser versteht:

(1) Wie viele höchstens dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffernkarten 0, 1, … , 9 legen, wenn keine Ziffer mehrfach auftreten darf? → Permutation ohne Wiederholung mit Berücksichtigung der Reihenfolge 

(2) Wie viele höchstens dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffernkarten 0,1,...9 legen, wenn keine Ziffer mehrfach auftreten darf und die Zahlenwerte der Ziffern von links nach rechts größer werden? → Kombination ohne Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Beim 1. Beispiel dachte ich, dass die Reihenfolge wichtig ist, denn wir sollen Zahlen legen. Zahlen haben einen Stellenwert und somit ist die Reihenfolge wichtig!

Beim 2. Beispiel sollen ebenfalls Zahlen gelegt werden und zudem sollen die Zahlenwerte von links nach rechts größer werden, also dachte ich, dass die Reihenfolge umso wichtiger ist. 

Answer 1

Hier ein Beispiel aus einer Vorlesung damit ihr mich vielleicht besser versteht: 

(1) Wie viele höchstens dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffernkarten 0, 1, … , 9 legen, wenn keine Ziffer mehrfach auftreten darf? → Permutation ohne Wiederholung mit Berücksichtigung der Reihenfolge  

(2) Wie viele höchstens dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffernkarten 0,1,...9 legen, wenn keine Ziffer mehrfach auftreten darf und die Zahlenwerte der Ziffern von links nach rechts größer werden? → Kombination ohne Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 

Beim 1. Beispiel dachte ich, dass die Reihenfolge wichtig ist, denn wir sollen Zahlen legen. Zahlen haben einen Stellenwert und somit ist die Reihenfolge wichtig!

richtig.

Beim 2. Beispiel sollen ebenfalls Zahlen gelegt werden und zudem sollen die Zahlenwerte von links nach rechts größer werden, also dachte ich, dass die Reihenfolge umso wichtiger ist. 

falsch. stell dir vor, wie die Ziffern erst gezogen werden. 

Beim Ziehen hat man zuerst 10 Möglichkeiten,        Bsp: 1

dann 9,       Bsp. 5

und dann noch 8.  Bsp. 3

Mögliche Ziehungen: 10 * 9 * 8

Nun hast du die Ziffern, die du zur Zahl anordnest. Im Prinzip wird hier wieder gemischt. Die Reihenfolge der Ziehung wird vergessen.

Bsp. 135.

Auch die Ziehungen 1,3,5  / 5,3,1  / 5,1,3 .... ergeben die Zahl 135.

Mögliche unterscheidbare Zahlen: Nur (10 * 9 * 8) / 3! .

Du kannst es dir so merken:

Wiederholung und Reihenfolge beziehen sich auf die "Ziehung". 

mit Wiederholung: Dasselbe Element kann immer wieder gezogen werden ( z.B. bei "mit Zurücklegen"). 

geordnet: Die Reihenfolge beim Ziehen ist für die Zählung der Resultate relevant.

Comments

Hehe okay das war jetzt ganz schön viel auf einmal. Also, wenn ich es jetzt mit meinen eigenen Worten zusammenfasse, heißt das jetzt:

Beispiel 2 ist ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: die Reihenfolge während des Prozesses des Ziehens spielt anfangs noch eine Rolle, da ich z.B erst  9, dann 4, dann 1 ziehe (so wie es der Zufall will) und  im Anschluss daran wird die Reihenfolge wieder vergessen/ aufgehoben, da ich die Ziffernkarten vertausche, also 149.

richtig verstanden?

Vielen Dank für deine Erklärung, die war wirklich super :-) !

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Bitte. Ja das hast du richtig begriffen.

Du kannst Beispiel 2 auch abkürzen

 und mit einem Griff 3 Ziffern aus einer Menge mit 6 Ziffern ziehen. Nun hast du genau eine Möglichkeit deine Ziffern richtig hin zu legen.

Das läuft dann auf den Binomialkoeffizienten ( 10 tief 3) raus.

Also muss gelten (10 * 9*8)/3! = (10 tief 3) . Kannst du noch nachrechnen.