Exacte DGL: 2xyy' + x² = y² , y(1)=5

Question

Bearbeitet nach System: 

Umgestellt: -y² + x² + 2xyy' = 0 => a(x,y) = -y² + x² , b(x,y) = 2xy
Die verlangten Ableitungen ergeben jeweils 2x.
Also ist die DGL exakt.

Stammfunktionen ergeben:
-y²x + (1/3)x³ + c(y)  [bzw. xy² + c(x)]
Abgeleitet nach der anderen Variablen:
-2yx + c'(y) [bzw. y² + c'(x)]

Diese müssen dann gleich b bzw. a gesetzt werden um c zu erhalten.
Leider habe ich hier je ein Vorzeichenproblem:
-2yx  + c'(y) == 2yx [bzw. y² + c'(x) == -y² + x²]

Und selbst wenn ich das Vorzeichen testweise umschreibe, erhalte ich nicht das postulierte Ergebnis von
y = (26x - x²)^{1/2}

Vielleicht sieht ja jemand meinen (Denk-)Fehler?
Danke...
T

Comments

Aufbauend auf die nicht ganz so exakte DGL meiner letzten Frage,
hoffe ich nochmal nachhaken zu dürfen.

Wie  Gast jc2144 aufführt, kann man hier relativ einfach 2yy' durch (y²)' ersetzen und daraufhin y² = z substituieren.
Sollte man das nicht entdecken (bzw. um den "Standardweg" zu üben) habe ich (wie in ähnlich aufgebauten Aufgaben) y/x=u substituiert, finde aber wieder mein(e) Fehler nicht.

Die richtige Lsg. ist: y=√[26*x-x²]

Vielleicht will es jemand kurz überfliegen?
Vielen vielen Dank!

PS: ohne dass es etwas ändern würde, ist natürlich c = -626/5

---

Obwohl dies eine komplett neue Frage wäre, muss ich leider hier rein kommentieren, leider kann ich so auch keine beste Antwort zu dieser Frage küren (sollte sie überhaupt entdeckt werden)...

Wie  Gast jc2144 aufführt, kann man hier relativ einfach 2yy' durch (y²)' ersetzen und daraufhin y² = z substituieren.
Sollte man das nicht entdecken (bzw. um den "Standardweg" zu üben) habe ich (wie in ähnlich aufgebauten Aufgaben) y/x=u substituiert, finde aber wieder mein(e) Fehler nicht.

Die richtige Lsg. ist: y=√[26*x-x²]

Vielleicht will es jemand kurz überfliegen?
Vielen vielen Dank!

PS: ohne dass es etwas ändern würde, ist natürlich c = -626/5

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 Grosserloewe war so freundlich und hat in der (bald gelöschten?) Frage geantwortet:

Answer 1

Exacte DGL: 2xyy' + x² = y² , y(1)=5

Dein Fehler ist, das diese DGL nicht exakt ist.

Ich weiß nicht, nach welcher Methode Du diese DGL lösen sollst.

Aber wenn Du diese Methode verwendest geht das über einen sog. Integrierenden Faktor,

der noch zu ermitteln ist.

Im Übrigen ist das auch eine Bernoulli -DGL.

Comments

Danke, ich hatte befürchtet, dass es eine peinliche Frage wird.
Ich hatte aber selbst nach dreimaligem Überprüfen noch immer nach der jeweils falschen 'Variablen' abgeleitet...
Sry für die Umstände.
Aber Danke, top!

Ich werde das mal mit dem Integrierenden Faktor probieren. Ansonsten funktionierts natürlich auch über Substitution.
€dit: Die der nachfolgende Poster freundlicher (und vollständiger) Weise ausgeführt hat :)

Answer 2

2xyy'+x^2=y^2

x*(y^2)'+x^2=y^2 setze z=y^2

x*z'+x^2=z

z-xz'=x^2

homogene Gleichung:

z-xz'=0

Lösung mit Trennung der Variablen: z_h=c*x, c∈ℝ

inhomogene Gleichung:

z-xz'=x^2

Ansatz: z=ax^2+bc+C, z'=2ax+b

einsetzen und Koeffizientenvergleich liefert a=-1, b=C=0

--> z_p=-x^2

--> z=c*x-x^2

--> y=±√[c*x-x^2]

Anfangsbedingung:

y(1)=5

±√[c*-1]=5

--> c=26 (für das+, für das - gibt es keine Lösung)

-->  y=√[26*x-x^2]

Comments

Alles verständlich.
Leider kann man anhand dieser Aufgabe keinen Lösungsweg für Exakte DGL üben.
Ich habe mich aber an der Standardsubstitution versucht (siehe oben) - vielleicht willst du mir bei diesem Versuch nochmal helfen? Danke :)

Answer 3

Meine Berechnung:

 

Hier die Antwort auf deine Fragen , ich habs hier reingepackt:

Hier noch ein Link mit wichtigen Log. gesetzen:

http://www.formelsammlung-mathe.de/logarithmus.html

in unserem Fall ist es die vorletzte Zeile:

Comments

! Wahnsinn :)
(und ich dachte diese Frage wurde gelöscht? hm...)

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GrosserLoewe sind die Regeln von Mathelounge offensichtlich gleichgültig!

Diese Unverschämtheit ist kaum noch zu überbieten:

Hauptsache 2 x Beste Antwort für die gleiche Frage!

Edit: Die Antwort wurde ursprünglich nach  deren Schließung zu einer "geschlossenen Frage" eingestellt, die GL heute schon einmal ( mit * für "Beste Antwort") beantwortet hatte!

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Woher nimmst du Dir dieses Recht heraus?  Ist es unverschämt zu helfen?

ich wollte nur helfen und habe mir dabei nichts weiter Böses gedacht.

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Und er hat wunderbar geholfen.
Und das OBWOHL die (mittlerweile vollzogene) Löschung der anderen Frage offensichtlich war.
D.h. Grosserloewe hat geholfen, obwohl eben keine weitere Beste Antwort in Aussicht stand.

Ich glaube außerdem, dass es zu den Regeln von Mathelounge gehört, dass Off-Topic-Kommentare unerwünscht sind - aber Hauptsache seinem Ärger Luft machen...

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@Telefonkabel:

>  D.h. Grosserloewe hat geholfen, obwohl eben keine weitere Beste Antwort in Aussicht stand. 

Dann sollte GL  - wie andere auch - das in einem Kommentar zur ursprünglichen Frage tun. Er macht das lange genug, um das genau zu wissen.

Seltsam, dass du eine BA dann zweimal vergeben hast, wenn du davon ausgegangen bist.

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Logisch.
GL konnte auf eine als wird-gelöscht markierte Frage antworten.
Ergo können das auch andere.
Also macht es Sinn eine über-ausreichende Antwort zu markieren, um weitere Umstände zu vermeiden.

Und außerdem finde ich, dass es sich um 2 verschiedene Fragen handelt. Ich finde einen Unterschied im Lösungsweg gravierender als einen simplen Zahlendreher in der Ausgangsgleichung. Aber ich halte mich natürlich im Folgenden an die hiesigen Regeln.

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Endlich wieder off-off-topic, auch wenn ich mich bei dieser Frage am besten unterm Tisch verkriechen sollte:

Vielleicht bin ich überarbeitet, oder die etwas spätere Stunde, aber ich check einfach diese offensichtlich simplen Umformungen (wobei zweitere wohl einfach verschrieben scheint) nicht...
Sry :O

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An der Uhrzeit lags wohl nicht...
warum soll ln(-z-1/z) = -1/2*ln(z²+1) sein?
Eine Zahl eingesetzt ergibt jedenfalls je was anderes.

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ich habe etwas weiter oben dazu geantwortet .

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Danke, peinlicherweise ist mir das aber bewusst und ich stell mich trotzdem total an. Sry für die Aufmerksamkeit die ich auf so eine Kleinigkeit lenke..



Wo hab ich mich verlesen/etwas übersehen/etwas falsch verstanden? *heul*

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Mal frag , wo kommst das her? In meiner oder Deiner Rechnung ?? oder eine Frage?

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Deiner ^^ an der Stelle der roten Pfeile.
Offensichtlich hab ich wohl eher ein Lese- statt Formelproblem :-S

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Hier ausführlicher:

Das Orange habe lese ich doch richtig raus?

Dass das nicht richtig sein kann, sehe ich ja ein (wenn ich eine Zahl einsetze). Aber oben kommst du zum richtigen Ergebnis, also stehe ich irgendwo auf der Leitung.

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die Berechnung:

es sind beide Wege möglich:

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Danke für deine Mühe, das hilft mir weiter :)

Bzgl. meines Umformungsproblems mache ich am besten eine eigene Frage auf.

Top!

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Der Vollständigkeit halber (leider kann ich nicht mehr editieren):
Die beantwortete Umformungsfrage