Question

Bestimmen Sie den Konvergenzradius R ≥ 0, wobei R = ∞ zugelassen ist, sowie ein geeignetes x0 ∈ R, so dass die Potenzreihe

 für alle  x ∈ R mit x ∈]x0 −R, x0 +R[=: K konvergiert und für alle  x ∈ R mit |x−x0| > R divergiert. Untersuchen Sie zusätzlich die Konvergenz in den beiden Randpunkten x₀ − R und x₀ + R.

Answer 1

√( k^2 - 1 )   /   √( (k+1)^2 - 1 )

= √( (k^2 - 1 ) / ( k^2 + 2k ) )

=√(   ( 1 -  1/k^2 ) / ( 1 + 2/k)  )

Für k gegen unendlich gehen 1/k^2 und  2/k gegen 0, also

ist der GW von a_n / a_n+1 = 1

und damit konvergiert die Reihe für x aus  ]  2-1 ; 2+1 [ =  ] 1 ; 3 [

Randpunkt 1, da ist es die Reihe von k=2 bis ∞ über

(-1)^k / √(k^2 - 1 )  das ist eine alternierende Reihe,

die nach dem Leibnizkriterium konvergiert. Und bei x=3

da ist es die Reihe von k=2 bis ∞ über

1 / √(k^2 - 1 )   und für den Nenner gilt

√(k^2 - 1 )  =  k* √( 1 - 1/k^2  )  < k

also   1 / √(k^2 - 1 )    >  1/k  und wegen der Divergenz der

harmonischen Reihe konvergiert es also am rechten

Randpunkt nicht.