Wertebereich von f(x)= -a²x² + ax + 3a² angeben

Question

wie kann man den Wertebereich von f(x)= -a²x² + ax + 3a² angeben?

Answer 1

Du siehst, dass die Funktionen eine nach unten geöffnete Parabeln sind (für a≠0). 

Berechne den Scheitelpunkt via die Ableitung, falls du die schon kannst.

fa(x)= -a²x² + ax + 3a²

fa'(x) =  - 2a² x + a         | Null setzen

0 = -2a² x + a 

2a² x = a   | : 2a²

x = a/(2a²) = 1/(2a)

Zugehöriger y-Wert 

fa(x)= -a²x² + ax + 3a² 

fa(1/(2a))= -a²(1/(2a))² + a* 1/(2a) + 3a²

= -1/4 + 1/2 + 3a²

= 3a² + 1/4 

Da die Parabel nach unten geöffnet ist

W = ( -∞, 3a² + 1/4 ] 

Den Fall a=0 solltest du noch separat ansehen. 

Comments

Beachte die Antwort von Poltergeist. Wenn ihr nichts anderes definiert habt, kannst du einfach W = ℝ schreiben und brauchst gar nicht zu rechnen. Der Wertebereich darf ruhig Elemente enthalten, die gar nicht als Funktionswerte vorkommen. 

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Aha, nun verstehe ich es.  

Answer 2

Wandel den Term in die Scheitelpunktform

f(x) = - a²·x² + a·x + 3·a² = - a²·(x - 1/(2·a))² + (3·a² + 1/4)

Wertebereich

y ≤ 3·a² + 1/4

Comments

Ich scheitere bei "ax" ÷ durch "-a²" . Könntest du mir diesen Schritt noch erläutern, den Rest probiere ich dann allein. Hatte so einen Fall noch nicht. 

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a*x : (- a²) = - x/a

Langt das so?

Answer 3

   ACHTUNG !! Meinst du den WERTEBEREICH ( der ja bei Definition der Funktion mit gegeben werden muss genau wie ihr Definitionsbereich. Standardmäßig spräche bei Polynomen nichts gegen Wertebereich = |R ; ein User war übrigens so freundlich, mich darauf aufmerksam zu machen, dass du dann Problem los Polynome miteinander verkettet werden können.

   Oder meinst du das BILD  ( beispielsweise Bild ( |R ) ) ? Dann müsstest du den Scheitel = Maximum der Parabel ermitteln.

  Man sollte es nicht glauben; bei dem Konkurrenzportal Ly cos meldet sich ein User als Mathe Studienrat. Der verwechselt ständig Wertebereich = Zielmenge mit Bild.

Comments

Das Maximum ist gesucht, also der Scheitelpunkt. Die Lösung ist so angegeben, wie Mathcoach und Lu es gerechnet haben.