Berechnen Sie die Summe von Quadratzahlen mit Vorzeichen OHNE TR

Question

Hi,

ich möchte gerne ohne den TR eine Summe berechnen:

$$ \sum _{ i=1 }^{ 50 }{ ({ (-1) }^{ i }*{ i }^{ 2 }) }  $$

Kann mir jemand eine Erklärung liefern, wie das gemacht werden muss?

Besten dank!

Comments

Zeige z.B. per Induktion über \(n\), dass \(\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\cdot k^2=\frac12(-1)^n\cdot n\cdot(n+1)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt. Setze dann \(n=50\).

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Soll auch ohne Induktion gezeigt werden. Leider. Darum ist das glaube ich nicht so trivial

Answer 1

$$\quad\sum_{k=1}^{50}(-1)^kk^2=\sum_{k=1}^{25}\left((2k)^2-(2k-1)^2\right)$$$$=\sum_{k=1}^{25}(4k-1)=\sum_{k=1}^{25}\big(4(26-k)-1\big)=\sum_{k=1}^{25}(103-4k)$$$$\Leftrightarrow2\sum_{k=1}^{50}(-1)^kk^2=\sum_{k=1}^{25}(4k-1)+\sum_{k=1}^{25}(103-4k)=\sum_{k=1}^{25}102$$$$\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{50}(-1)^kk^2=\tfrac12\cdot25\cdot102=1275.$$Gruß

Comments

Gegenüber den anderen Lösungsvorschlägen ist dieser geradezu erfrischend. Der Anfang hätte allerdings auch noch naheliegender gewählt werden lönnen. Es handelt sich doch um die alternierende Summe der Quadratzahlen. Wenn man davon immer zwei aufeinanderfolgede Glieder zusammenfasst, erhält man die Summe von 1 bis 25 des Terms 4n-1-

Answer 2

sortieren die Summanden um, um das (-1)^i weg zu bekommen: (S steht für deine Summe)

S= ∑i=0 bis 25 (2i)^2 -sum k=0 bis 24 (2k+1)^2

Betrachte die linke Teilsumme mit Obergrenze n:

die ersten 4 Partialsummen lauten:

0,n=0

4, n=1

20 , n=2

56, n=3

Aufgrund der Integralrechnung wissen wir, dass die explizite Summenformel ein Polynom 3.ten Grades sein muss.mit den 4 gegeben Partialsummen lässt sich dieses eindeutig bestimmen:

s1(n)= 4/3n^3 +2n^2+2/3n^2

(Induktion gänge auch, aber dann müsste man den Funktionsterm zuerst erraten.)

Das selbe macht man für die rechte Teilsumme.

Man erhält

s2(n')=4/3n'^3+4n'^2+11/3n'+1

Es gilt nun S=s1(25)-s2(24)=22100-20825=1275

Comments

Interessant, aber wie kommst du auf Schritt 1:

Wäre nett, wenn du mir das genauer erklären könntest. danke!

0 bis 25 (2i)² -sum k=0 bis 24 (2k+1)²

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S=0-1+4-9+16-.......+50^2

=0^2+4+16+.....+50^2 -(1+9+25+....+(48+1)^2)

=∑i=0 bis 25 (2i)² -sum k=0 bis 24 (2k+1)²

^{(links die Summe der geraden Quadratzahlen und rechts die Summe der ungeraden Quadratzahlen)}

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OK und auf 0 bis 24 komme ich, da 25 die "letzte" gerade zahl ist, die eine Stelle davor muss dann ungerade sein. Und ja 1 bis 50, 49 sind und folglich 25+24 49 sind

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Ja genau  (^_^)