Das 3-Kasten-Problem von Joseph Bertrand

Question

die Aufgabe lautet :

Gegeben sind drei Kästen mit je zwei Schubladen. In jeder Schublade liegt eine Münze; im ersten Kasten Gold-Gold; im zweiten Kasten Silber-Silber; im dritten Kasten Gold-Silber, Ich wähle einen Kasten, ziehe eine Schublade und sehe eine Goldmünze. Mit welcher hierdurch bedingten Wahrscheinlichkeit ist in der anderen Schublade meines Kastens auch eine Goldmünze (eine Silbermünze ) ?

Ein Tipp reicht aus ;) Dankeschön

Answer 1

Zeichne dir mal die Kästen auf

Wenn du zufällig eine Kiste und daraus eine Münze gewählt hast und diese Münze ist Gold hast du 3. Möglichkeiten.

In 2 von diesen 3 Möglichkeiten ist die zweite Münze auch Gold. Nur in einem Drittel der Fälle haben wir aus der Gemischten Box die Goldmünze gewählt.

Die andere Münze aus dem Kasten ist demnach zu 2/3 auch Gold und zu 1/3 Silber.

Comments

Es gibt eine rechnerische Betrachtung auf der englischen Wikipedia Seite.

https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_box_paradox

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Wo steckt in meiner Überlegung der Fehler ?

Nach der 1.Wahl steht fest : ich habe entweder die Kiste 1 G/G oder die Kiste 2 G/S
geöffnet .

Es wird gefragt nach der Wahrscheinlichkeit für den 2.Zug. Entweder

  - ich habe Kiste 1 vor mir, dann ziehe ich jetzt Gold

  oder

  - ich habe Kiste 2 vor mir, dann ziehe ich jetzt Silber

  Die Wahrscheinlichkeit  für den 2.Zug  für Gold beträgt 50 %

  mfg Georg

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Nach der 1.Wahl steht fest : ich habe entweder die Kiste 1 G/G oder die Kiste 2 G/S
geöffnet .

Richtig. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit ja nicht 50:50.

Wir können per Zufall eine von 6 Münzen wählen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Münze 1/6. Ich hoffe soweit ist es klar. Das wir jetzt die GG Kiste erwischt haben ist 1/6 + 1/6 = 2/6 oder 1/3. Das wir die GS Kiste erwischt haben ist 1/6.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit doppel so groß das die Goldmünze aus der GG Kiste stammt.

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@ Mathecoach:
Sehr gut erklärt!

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Wahrscheinlich ist es die Frageformulierung

" ziehe eine Schublade und sehe eine Goldmünze. Mit welcher hierdurch bedingten
Wahrscheinlichkeit ..."

  " mit welcher hierdurch bedingten Wahrscheinlichkeit " bedeutet wohl das der erste Zug
auch mitberücksichtigt werden soll.

  Ich stelle mir eine Kiste mit 4 Schubladen vor : 3 Schubladen Gold / 1 Schublade Silber

  Für die beiden Züge gibt es 4 Möglichkeiten

  Gold / Gold
  Gold / Gold
  Gold / Silber
  Silber / Gold

  nachdem der erste Zug nicht Silber gewesen ist muß einer der drei Kombinationen eintreten

  Gold / Gold
  Gold / Gold
  Gold / Silber

  Also für den zweiten Zug  2/3 Gold, 1/3 Silber.

  mfg Georg

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Kaum geschrieben kamen mir schon wieder Zweifel. Ich denke aber hiermit müßte
es klar sein :

  Schublade   1.         2.       3.       4.
                         Gold   Gold  Gold  Silber

  Gezogen

  1.Schublade Gold gezogen : bleibt 2 x Gold und 1 x Silber übrig
  2.Schublade Gold gezogen : bleibt 2 x Gold und 1 x Silber übrig
  3.Schublade Gold gezogen : bleibt 2 x Gold und 1 x Silber übrig
  4. Schublade entfällt

  mfg Georg