Von wem ist dieser Satz? Sei f harmonisch und nach unten beschränkt, dann ist f konstant. (nicht Liouville)

Question

Wie heißt der folgende Satz: Sei f harmonisch und nach unten beschränkt, dann ist f konstant. Bitte schreibt nicht Liouville, denn er hat auch einen anderen Namen (benannt nach irgendeinem Mathematiker)

Answer 1

Es ist der Satz von Liouville! Ein anderer Name ist mir nicht bekannt.

Answer 2

In meiner Mathevorlesung bei Prof. Rainer Felix wurde der Satz von Liouville genauso wie in der Wikipedia verwendet, also bezogen auf eine ganze, beschränkte Funktion. An der LMU wird der von dir zitierte Satz als Theorem von Liouville bezeichnet.

Bei beiden Sätzen ist es wichtig, klarzumachen, was für eine Funktion man betrachtet. Entweder ist \( f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) oder \( f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \).

Comments

Da ich meine Antwort nicht mehr editieren kann (ich glaube das Recht hat man bereits nach fünf Minuten "Trödelei" verwirkt), hier noch ein Kommentar:

Witzigerweise hat ein Link in der Wikipedia des Artikels "harmonische Funktion" auf den Satz von Liouville referiert (in welchem Artikel gar nicht von harmonisch die Rede ist). Ich habe das verändert, wobei die Änderung noch gesichtet werden muss.

Eine harmonische Funktion \( f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), die nur nach unten beschränkt ist, muss (vermutlich) nicht konstant sein! Wenn ich ein Gegenbeispiel gefunden habe, melde ich mich nochmal.

Beschränktheit meint sowohl nach oben als auch nach unten.

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Das "vermutlich" oben ist gut gesetzt. Man kann wohl beweisen, dass Beschränktheit nach unten ausreicht. Siehe zB. hier.