Sind die Folgen beschränkt, nach oben oder nach unten beschränkt sind. ((-1)^n ((2n+1)/(n^2 +1)), ((2n-1)/(n+1))

Question

Ausrechnen, ob folgende Folgen beschränkt, nach oben beschränkt oder nach unten beschränkt sind:

$$\begin{array} { l } { \left( ( - 1 ) ^ { n } \left( \frac { 2 n + 1 } { n ^ { 2 } + 1 } \right) \right) } \\ { \left( \frac { 2 n - 1 } { n + 1 } \right) } \end{array}$$

Comments

Wenn du zeigen kannst, dass beide Folgen einen reellen Grenzwert und dass alle Folgenglieder wohldefiniert sind, sind sie beschränkt.

Einen entsprechenden Hinweis/Satz solltest du in deinen Unterlagen finden.

Answer 1

Sind die Folgen beschränkt, nach oben oder nach unten beschränkt sind.

((-1)^n ((2n+1)/(n^2 +1)) = (-1)^n (2 + 1/n)/(n+1/n) 

geht für n gegen unendlich gegen ± 2/∞ = 0

 

((2n-1)/(n+1)) = (2 + 1/n)/(1 + 1/n) 

geht für n gegen unendlich gegen 2.

Da beide Folgen einen Grenzwert haben, gibt es bei beiden ein n_o ab dem die Folgenglieder nicht mehr mehr als Epsilon vom Grenzwert abweichen. Nun kann man als untere Schranke das Minimum vom kleinsten der ersten n_o Folgenglieder und 'Grenzwert minus Epsilon' angeben;   als obere Schranke das Maximum vom grössten der ersten n_o Folgenglieder und 'Grenzwert plus Epsilon' angeben.

Daraus folgt: Beide Folgen sind nach oben und unten beschränkt.