Question

Warum ist die (-1)^{1/3} = 1/2 + i * sqrt(3)/2 ?

ich komme einfach nicht drauf...

Danke für die Hilfe!

Answer 1

vielleicht ist es so einsichtiger:

Da -1 den Betrag 1 hat, hat die 3. Wurzel auch den Betrag 1.

Und der Winkel mit der pos. reellen Achse ist 180°, also bei der 3. Wurzel

ein Drittel davon, also 60°.

Damit ist das cos(60°) + i * sin(60°)

                  = 1/2  +  i *  sqrt(3)/2

Aber beachte: Es gibt 3 dritte Wurzeln, denn statt 180° kann man ja auch sagen:

Winkel ist 180° + 360° = 540°

Das durch 3 wäre 180° also ist eine dritte Wurzel auch

cos(180°) + i * sin(180°) =  - 1 also sogar reell.

Und auch 180° + 2*360° = 900° und das durch 3

gibt 300° , also auch

cos(300°) + i * sin(300°) = 1/2  - i * sqrt(3)/2

Das sind die drei 3. Wurzeln aus -1.

Comments

ich habe es jetzt so gesehen.

Der Winkel ist 180°  (π) und der Radius (Realteil) = 1, da die -1 ja im "zweiten Quadranten" meiner Gaußschen Ebene liegt, und ich in meinem Einheitskreis  auf diesen Winkel komme.

also habe ich e^{j*π}, da ich die dritte Wurzel ziehen möchte. Ergibt sich somit ( e^{j*π} )^{1/3} = e^{j*π/3}.

Somit ist dass dann in karthesicher Form, cos(π/3) + j*sin(π/3) = 1/2 + j* sqrt(3)/2.

Ich verstehe was du mir sagen willst mit den immer drauf addierten 360°, doch woher weiß ich wann Schluss ist, ich könnte doch theoretisch mich unendlich oft um 360° drehen?

Vielen Dank für die sehr anschauliche Erklärung!

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mach mal einen weiter, dann kommt der erste wieder raus.

Danach wiederholt sich alles.

Man kann sich auch merken:

bei n-ter Wurzel gibt es n verschiedene.

Answer 2

was du hingeschrieben stimmt leider nicht, da hast du eventuell was verwechselt.

Es gilt e^{i*π/3}=cos(π/3)+i*sin(π/3)=1/2+i*sqrt(3)/2

Comments

Ich möchte die dritte Wurzel von (-1) anders ausdrücken, nämlich als 1/2 + i*sqrt(3)/2. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das herleiten kann.

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> was du hingeschrieben stimmt leider nicht

ich denke,    (-1)^1/3   =  1/2 + √3·i/2 i   ist  nicht falsch

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und wie kommt man drauf?

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Achso,  die Frage wäre also x^3=-1=e^{i*π}

allgemein gilt:

x^n=r*e^{i*φ}

---> x_k=r^{1/n}*e^{i*[φ+2*k*π]/n}, wobei k=0,1,2,...., n-1

hier: n=3, φ=π, r=1

x₁=e^{i*π/3}

x₂=e^{i*π}

x₃=e^{i*5*π/3}

(In der Aufgabe steht (-1)^1/3≠(-1)^{1/3})

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zusätzlich gilt e^{i*φ}=cos(φ)+i*sin(φ)

die Lösungen lassen sich also auch so schreiben:

x₁=cos(π/3)+i*sin(π/3)=1/2+i*sqrt(3)/2

x₂=-1

x₃=1/2-i*sqrt(3)/2

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EDIT: Habe in der Fragestellung Klammern um den intendierten Exponenten ergänzt.

(-1)^ (1/3 ) und nicht (-1)^ 1/3 

 = 1/2 + i * sqrt(3)/2 ?  

Beachte aber, dass es besser ist diese Lösung x^3 = -1 nicht mit Wurzelzeichen aufzulösen. Die Gleichung hat 3 Lösungen. Eine reelle und 2 komplexe. Einfach direkt die Lösungen so hinschreiben, wie jc144 das gemacht hat. 

Answer 3

Du musst hier den Weg über die komplexen Zahlen gehen, am sinnvollsten über die Exponentialdarstellung.

Beachte dabei aber, dass (-1)^{1/3} drei Lösungen hat, nämlich

-1

1/2-sqrt(3)/2*i

1/2+sqrt(3)/2*i

Grüße,

M.B.