Graph mit Wendepunkt im Ursprung. Funktionsgleichung?

Question

der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und in T(1|-1) einen Tiefpunkt.

Kontrolle: Lösung muss f(x)= 1/2x³ -3/2x ergeben

Bitte die Schritte ausführlich erklärt !

Vielen Dank an alle!!!

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und in T(1|-1) einen Tiefpunkt.

Kontrolle: Lösung muss f(x)= 1/2x³ -3/2x ergeben

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades soll bestimmt werden. Ein möglicher Ansatz wäre
$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$.

Solche Funktionen sind symmetrisch zu ihrem, immer vorhandenen, einzigen Wendepunkt. Dieser liegt hier im Ursprung. Damit vereinfacht sich der Ansatz zu
$f(x) = ax^3+cx$.

Die Funktion hat in T(1|-1) einen Tiefpunkt. Hieraus ergebn sich die beiden Bedingungen
$f(1)=-1$ und
$f'(1)=0$.

Dies entspricht dem Gleichungssystem
$a+c=-1$ und
$3a+c=0$.

Dieses hat die Lösungen
$$a=\frac 12\quad\text{und}\quad c=-\frac {3}{2}.$$

Answer 2

jede Polynomfunktion 3. Grades hat die Form

f(x) = ax³ + bx² + cx + d     mit den Ableitungen

f '(x) = 3ax² + 2bx + c

f "(x) = 6ax + 2b

Die Unbekannten a,b,c und d müssen bestimmt werden:

Bedingungen:

Graph verläuft durch (0|0) :

f(0) = 0    →  d = 0

Wendepunkt bei x=0 :

f "(0) = 0   → 2b = 0  →  b = 0

Tiefpunkt bei x=1 :

 f '(1) = 0   →    3a + c = 0   →  c = -3a  

Graph verläuft durch (1|-1) :

f(1) = -1    →    a + c =  - 1   →   a - 3a = -1  →  - 2a = -1 → a = 1/2  →  c = - 3/2

also:  f(x) = 1/2 · x³ - 3/2 · x 

Gruß Wolfgang