Integration per Substitution Fehler?

Question

 ∫(x^2+5) / (x^3+3x)

Habe folgenden gemacht:

dz/dx = 3x^2 + 3 <=> dx = dz / (3x^2+3)

 ∫ ((x^2+5) / z) * (1 / (3x^2 + 3)) = ∫ (5/z) * 1/6 = 5/6 * ∫ 1/z

= 5/6 * ln(z) = 5/6 * ln(x^3 + 3x)

Wo ist mein Fehler? In meiner Lösung steht nämlich etwas anderes.

Answer 1

Dein Fehler ist wohl hier:

 ∫ ((x²+5) / z) * (1 / (3x² + 3))

Du hast da was zu kürzen versucht, aber

das passt nicht.

Vielleicht teilst du besser auf in

 ∫(x²+5) / (x³+3x)    dx

= 1/3 *  ∫(3x²+15) / (x³+3x)  dx

= 1/3 *  ∫(3x²+3) / (x³+3x)  dx  + 1/3 *  ∫12) / (x³+3x)  dx

= 1/3 *  ∫(3x²+3) / (x³+3x)  dx  + 1/3 *  ∫12) / (x*(x^2+3) )  dx

das erste mit deiner Substit. und das zweite mit   z = x^2 + 3

= 1/3 * ln( | x³+3x| )  +  2/3 * ln( x^2 / ( x^2 + 3 ) )

Answer 2

 ∫ ((x²+5) / z) * (1 / (3x² + 3)) dz ->bis dahin stimmt es.

Du mußt hier mit z weiterrechnen , die Ausdrücke mit x lassen sich nicht kürzen

Weitere Lösungsmöglichkeiten:

- Partialbruchzerlegung:

Ansatz:

(x^2+5)/( x(x^2+3)) = A/x +(Bx+C)/(x^2+3)

- Substitution:

z=3/x^5 +1/x^3