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Hallo

ich verzweifle an folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie ∫√((1-x)/(2+x)) dx

dabei sollen wir subsituieren und zwar t = √((1-x)/(2+x))

Ich habe versucht das Integral mit t zu substituieren aber ich kriege einfach nicht alle x raus wenn ich das Integral ∫t dt da stehen habe ist unter dem dt immer noch irgendein Ausdruck mit x.

Kann mir jemande weiterhelfen?
von
Hast du die Wurzel nur über dem Zähler?
nein die wurzel ist über dem ganzen term also quasi

( (1-x)/(2+x) )^{1/2}

Ok. Ich ergänze mal oben die Klammer.

Wurzel aus Bruch scheint etwas ungünstig:

t = √(Bruch)

dt / dx  = 1/2 * 1/√(Bruch) * innere Ableitung

((1-x)/ (2+x)) ' = (-1(2+x) - 1*(1-x) ) / (2+x)^2 = -3 / (2+x)^2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281-x%29%2F+%282%2Bx%29%29+

Du müsstest bei deiner Methode direkt versuchen

t = √(Bruch) nach x aufzulösen.

t^2 = (1-x)/ (2+x)

(2+x)t^2 = 1-x

2t^2 + xt^2 = 1-x

x (t^2 + 1) = 1-2t^2

x = (1-2t^2)/(t^2 +1)

Ok das verstehe ich aber selbst dann hätte ich bei der Substituiton ja noch das -3 / (2+x)^2 unter dem dt stehen oder?

 

also die Aufgabe lautet genau so:

 

jetzt noch das rote x durch meinen roten Term ersetzen und hoffen, dass sich dann irgendwas wegkürzt.

x (t^2 + 1) = 1-2t^2

x = (1-2t^2)/(t^2 -1)

 

du meinst x= (1-2t^2)/(t^2+1) oder?

Ja. sorry. Ich korrigiere das gleich.

Ich komme jetzt auf
- ∫ (6t^2) /( 1+t^2)^2 dt                (Ohne Gewähr)

Sieht nämlich anders aus als die erste Eingabe bei WolframAlpha.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+∫√%28%281-x%29%2F%282%2Bx%29%29+dx

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-+∫+%286t%5E2%29+%2F%28+1%2Bt%5E2%29%5E2+dt+++
Danke für deine Bemühungen aber nach ner Stunde rumrechnerei komme ich trotzdem nur auf Mist und gebe die Aufgabe jetzt auf... Aber trotzdem vielen Dank!

1 Antwort

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Ich mache mal die Substitution

∫ √((1 - x)/(2 + x)) dx

 

Substitution

u = √((1 - x)/(2 + x))
1 du = 3·√((1 - x)/(x + 2))/(2·(x - 1)·(x + 2)) dx
dx = (2·(x - 1)·(x + 2))/(3·√((1 - x)/(x + 2))) du
x = (1 - 2·u^2)/(u^2 + 1)

∫ √((1 - x)/(2 + x)) dx
∫ u · (2·(x - 1)·(x + 2))/(3·√((1 - x)/(x + 2))) du
∫ u · (2·(((1 - 2·u^2)/(u^2 + 1)) - 1)·(((1 - 2·u^2)/(u^2 + 1)) + 2))/(3·u) du
∫ - 6·u^2/(u^2 + 1)^2 du

 

Jetzt sollte man vermutlich mit Partialbruchzerlegung weitermachen

6·∫ 1/(u^2 + 1)^2 du - 6·∫ 1/(u^2 + 1) du

von 268 k

Jetzt wohl mit Partialbruchzerlegung fortfahren

∫ - 6·v^2/(v^2 + 1)^2 dv
∫ 6/(v^2 + 1)^2 - 6/(v^2 + 1) dv
6·∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv - 6·∫ 1/(v^2 + 1) dv
6·∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv - 6·ARCTAN(v)

Eingeschoben

∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv

Substitution

TAN(w) = v
1/COS^2(w) dw = 1 dv
dv = 1/COS^2(w) dw
w = ARCTAN(v)

∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv
∫ 1/(TAN(w)^2 + 1)^2 * 1/COS^2(w) dw
∫ COS(w)^2 dw
SIN(w)·COS(w)/2 + w/2
SIN(ARCTAN(v))·COS(ARCTAN(v))/2 + ARCTAN(v)/2
v/(2·(v^2 + 1)) + ATAN(v)/2

Wieder weiter im eigentlichen Integral

6·∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv - 6·ARCTAN(v)
6·(v/(2·(v^2 + 1)) + ARCTAN(v)/2) - 6·ARCTAN(v)
3·v/(v^2 + 1) - 3·ATAN(v)

Damit haben wir jetzt eine Stammfunktion

Jetzt sollte man noch Resubstituieren.

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