Funktion mit drei Variablen: Extremstellen bestimmen!

Question

Gegeben ist die Funktion
f(x,y,z) = e^x (x^2+y^2+z^2+3/4)

Die Funktion soll auf extremstellen untersucht werden (globale Extrema). Ausserdem soll der größte und kleinste Wert der Funktion über dem Würfel {(x,y,z): IxI ≤1, IyI≤1, IzI≤1} ermittelt werden.

Ich habe bisher die partiellen Ableitungen f_x (x,y,z), f_y (x,y,z), f_z (x,y,z) gebildet und auch schon die zweiten ableitungen sowie die gemischten Ableitungen f_xy, f_yz und f_zx gebildet aber wenn ich die erste Ableitung gleich 0 setze, dann weiss ich nicht mehr weietr, ich kann den Extrempunkt somit nicht ausrechnen.

f_x (x,y,z) = e^x (x^2+y^2+z^2+3/4)+2xe^2
fy (x,y,z) = 2ye^x
f_x (x,y,z) = 2ze^x
f_xx (x,y,z) = e^x (x^2+y^2+z^2+3/4)+4xe^x + 2e^x
f_yy (x,y,z) = 2e^x
f_zz (x,y,z) = 2e^x
f_xy (x,y,z) = 2ye^x
f_xz (x,y,z) =2ze^x
f_yz (x,y,z) =0

Vielen Dank schonmal :D

Answer 1

 

das ist eine Menge Arbeit:

fx = e^x·(x² + 2·x + y² + z² + 3/4)   (Hast du falsch, Produktregel!)

f_y =  2·y·e^x

f_z = 2·z·e^x

Die kritischen (stationären) Punkte erhält man aus dem Gleichungssystem

f_x = 0  und  f_y = 0  und  f_z = 0

aus den Gleichungen 2 und 3 →  y = z = 0 

Setzt man das in G1 ein  ergeben der Nullproduktsatz und die pq-Formel

  x₁ = -1/2  und  x₂ = -3/2

kritische Punkte:   ( -1/2 | 0 | 0 )   und  ( -3/2 | 0 | 0)

Zur Überprüfung, ob - und wenn ja welche Art - Extrempunkte an diesen Punkten vorliegen, benutzt man - für jeden Punkt getrennt - die Hessematrix, die aus den zweiten partiellen Ableitungen gebildet wird:

⌈  f_xx   f_xy    f_xz  ⌉

|  f_yx   f _yy   f_yz  |

⌊  f_zx   f_zy    f_zz  ⌋

Hessematrix    (einfach anklicken)

Beispiel    Lösung 1c) zeigt, wie man damit umgeht

[ bei ( -1/2 | 0 | 0 )  sollte sich nach wolframalpha  ein Minimum ergeben ] 

Gruß Wolfgang