Nehmen wir die Potenzreihe, die du als Beispiel ausgesucht hast.
Eine Potenzreihe hat die Form Summe_(n=0) bis (unendlich) a_n (x - x_0)n.
Bei unserer ist also: a_n = ((-2)k)/k und x_0 = 0. Wenn du das in die Form einer Potenzreihe (s.o.) einsetzt, wirst du sehen, es wird unsere Reihe rauskommen (naja, der Laufindex wird anders sein, aber das ist irrelevant...).
Definition:
r = lim_(n --> unendlich) |a_n/a(n+1)|, wobei r den Konvergenzradius bezeichne. Siehe auch hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Konvergenzradius
Rechnung:
lim_(n --> unendlich) |(-2)k/(-2)k+1| = ... Rechne das aus, und wenn der Limes existiert, hast du den Konvergenzradius gefunden.