komplexe Zahl mit sehr hoher Potenz

Question

Wir sollen die zahl in exponentieller trigonometrischer und algebraischer Form angeben. Wie das geht weiß ich. Den Teil in den Klammern habe ich schon konjugiert komplex erweitert und der innere Teil kürzt sich auf i. Da 2015 ungerade ist müsste das Ergebnis 1 sein. Wir sollten das ganze aber mittels binomischem Satz lösen was für mich viel zu lange dauert oder habe ich einen Trick übersehen?

Answer 1

es ist \( \frac{1}{1-i} = \frac{1}{2}(1+i) \), denn aus \( (1 - i)(a + bi) = 1 \) folgt \( a = b = \frac{1}{2} \).

Weiter ist \( (1+i)\frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1+2i+i^2) = i \).

Es ist \( i^{2015} = i^{2012} i^3 = (i^{4})^{503} i^3 = 1^{503} i^3 = i^3 = -i \).

Mister

Answer 2

Da 2015 ungerade ist müsste das Ergebnis 1 sein.

Da irrst du dich!

Comments

ja stimmt ist -i aber wie sieht man sowas bei so hohen Potenzen?

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Wegen

$$ 2015 \equiv -1 \equiv 3 \mod 4 $$ ist

$$ \text{i}^{2015} = \text{i}^3 = -\text{i}.$$