Differentialgleichung berechnen: y´ = Ay und 3x3-Matrix ist : A = ( 1 , 1 , 1 / 2 , 1 , -1 / 0 , -1 , 1)

Question

Hallo !

ich habe die folgende Differentialgleichung die durch eine 3x3 Matrix gegeben ist.

y´ = Ay

und Matrix ist :

A = ( 1 , 1 , 1 / 2 , 1 , -1 / 0 , -1 , 1)

Answer 1

es handelt sich wohl um ein DGL System, Berechnung ähnlich wie 2,2 Matrix siehe letztes Beispiel:

1. charakt. Gleichung: -λ^3 +3 λ^2 -4

2.Eigenwerte : λ₁ = -1 ;  λ₂ = 2

3.Eigenvektoren:

x1= (0,-1,1)

x2= (-3,4,2)

4.allg. Lösung y=...

Comments

wenn die charakterische Gleichung von drittem Grade ist , wie kann man sie lösen?

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Da gibt es 3 Möglichkeiten, die mir einfallen.

-Faktorisieren

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- (x-2)^2 (x+1)=0

-Polynomdivision

-Hornerschema

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Danke !

dann bekomme ich

FUS ( e^x * v₁ , e^2x * v2 )

allgemeine Lösung

y = C₁e^x + C₂e^2x ?

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dass stimmt leider nicht, 2 ist eine doppelte Nullstelle.

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ich habe die charakteristische Gleichung mithilfe Hornerschemas gerechnet ,aber wie kann ich davon bekommen , dass 2 eine doppelte Nullstelle ist ?

und wenn 2 doppelte Nullstelle ist

dann ist FUS

( e^x * v₁ , xe^2x * v2 ) ?

und

y = C₁e^x + C₂xe^2x ?

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Du bekommst doch die Gleichung:

x^2-4x+4=0 --->PQ Formel:

x_2,3 =2±√(4-4)

x_2,3 =2 ->also doppelte Nullstelle.

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und dann weiter sind FUS und allgemeine Lösung richtig ?

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leider nein, da es eine doppelte Nullstelle gibt, müssen es 3 Bestandteile in der Lösung sein.

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( e^x * v₁ ,e^2x * v2,  xe^2x * v2 ) so ?

y = C₁e^x + C₂e^2x + C₃xe^2x ?