Ertragsgesetzliche Kostenfunktion und xBO?

Question

Wir haben in der Schule eine Aufgabe bekommen, die wir versuchen sollen zu lösen.
Jedoch sitze ich jetzt schon seit 2 Tagen an dieser Aufgabe und finde einfach keinen Einsatz, wie ich beginnen kann.
Aufgabe :
Zeigen Sie, dass für jede ertragsgesetzliche Kostenfunktion K(x)= ax^3+bx^2+cx+d gilt : Ist xBO die Ausbringungsmenge, bei der die Stückkostenfunktion ein lokales Minimum annimmt, dann ist die Tangente an den Graphen der Kostenfunktion im Punkt B(xBO;K(xBO)) eine Ursprungsgerade

Answer 1

Die Bedinung für das BO lautet:

K(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

k(x) = a·x^2 + b·x + c + d/x

k'(x) = 2·a·x - d/x^2 + b = 0 --> 2·a·x^3 + b·x^2 - d = 0

Damit die Tangente an K(x) eine Ursprungsgerade ist muss gelten

K(x) / x = K'(x)

a·x^2 + b·x + c + d/x = 3·a·x^2 + 2·b·x + c --> - 2·a·x^2 - b·x + d/x = 0 --> 2·a·x^3 + b·x^2 - d = 0

Du siehst. Es läuft dabei auf die gleiche Bedingung hinaus.

Comments

Danke erstmal!
Ich habe nur eine Frage, und zwar :
Wie kommt man auf die Funktion 2·a·x³ + b·x² - d = 0 ?

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Na oben sich doch zwei Wege die diese Bedingung produzieren. Probiere das beides nachzurechnen. Zwischenschritte, die ich oben sich gemacht habe solltest du natürlich mitmachen.