Lagrange Multiplikator anwenden

Question

Kann mir jemand folgendes Beispiell zum Lagrange Multiplikator bestätigen:

Gegeben sei eine Ellipse mit Zentrum (0,0) und Halbachse 2(in x-Richtung) und 1(in y Richtung). Offenbar gibt es 2 Punkte mit x≠0 auf der Ellipse die vom Punkt (0,1) maximalen Abstand haben. Leiten sie ein Gleichungssystem her mit dem sich diese Punkte bestimmen lassen.

Ich habe die Ellipsengleichung a²x²+b²y²=a²b² als Nebenbedingung Angenommen und den Betrag der Strecke zwischen den Punkten als Zielfunktion also sqrt(x²+1-2y+y²).

Das berechnen der Punkte erweißt sich allerdings als Mühsam. Ist das Beispiel bis hierher richtig gerechnet?

Answer 1

~draw~ ;ellipse(0|0 4 2);punkt(0|1 "P");zoom(3) ~draw~

a²x²+b²y²=a²b²

hier doch 1 und 2 also

Nebenbed.
x²/ 4  +   y² / 1  = 1

^bzw
x²/ 4  +   y² / 1  - 1 = 0

Lagrangefkt

L = sqrt(x²+1-2y+y²)  +  λ * ( x²/ 4  +   y² / 1  - 1)

partielle Abl'en

nach x   L ' _x = x /  sqrt(x²+1-2y+y²)  + xλ/2

nach y   L ' _y = (y-1) /  sqrt(x²+1-2y+y²)  + 2yλ

nach λ    L ' _λ =  x²/ 4  +   y² / 1  - 1

L ' _x = 0

x /  sqrt(x²+1-2y+y²)  =  -xλ/2        wegen x≠0

2 = -λ* sqrt(x²+1-2y+y²)
4 = λ² *(x²+1-2y+y²)

λ²  =    4/( (x²+1-2y+y²))

und mit L ' _y = 0

λ²  =    (y-1)² /(4y²* (x²+1-2y+y²))

also

4 =   (y-1)² /(4y²)

±2 =  (y-2) / ( 2y)

± 4 y =  y-2

3y=-2   oder  -5y = -2

y = -2/3 oder  y = 2/5

Der Rest ist einfach.

Comments

Ok du hast den Punkt in die Ellipsengleichung eingesetzt, ansonsten war meines schon richtig oder? Es gibt noch eine zusätzliche Frage: Welche weiteren Lösungssysteme hat diese Gleichung? Was bedeuten diese?

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Ich hab ja nur die möglichen Werte für y ausgerechnet.

Die passenden x- Werte dazu mit

x²/ 4  +   y² / 1  = 1

gibt x = ± 1,833  bzw.  x = ±1,49

also 4 Punkte , bei denen der Abstand zu P

relativ groß bzw- klein ist.