Differentialrechnung: f(x)=4 und f(x)=5x^2

Question

Hallo ihr lieben,

da ihr mir letztes mal so gut helfen konntet, wende ich mich mit einer weiteren Frage an euch. Thema zur Zeit: Differentialrechnung.

So weit komme ich zwar (irgendwie) mit, allerdings hänge ich nun an den Hausaufgaben fest und irgendwie ergibt das alles gerade wenig Sinn:

Gegeben:

$$f(x)=4$$

und

$$f(x)=5x^2$$

Mein Lösungsansatz für 1:

$$f^{1}\left( x\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\left( \dfrac {f\left( x+h\right) -f\left( x\right) } {h}\right)$$

$$f^{1}\left( x\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\left( \dfrac {4+h-4} {h}\right)$$

$$f^{1}\left( x\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\left( 0\right)$$

Allerdings stimmt das sicher nicht... ich habe wahrscheinlich schon beim Einsetzen einen Verständnisfehler...

Mein Lösungsansatz für 2 (sieht ähnlich aus):

$$f^{1}\left( x\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\left( \dfrac {\left( 5x+h\right) ^{2}-5x^{2}} {h}\right)$$

$$f^{1}\left( x\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\left( \dfrac {20x^{2}+10xh+h^{2}} {h}\right)$$

Weiter komme ich hier nicht.

Vielleicht kann mir ja jemand helfen. So richtig habe ich die Erklärung unseres Lehrers leider nicht verstanden.

Answer 1

f(x) = 4

f'(x) = lim (h-->0) (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = lim (h-->0) (4 - 4) / h

f'(x) = lim (h-->0) 0 / h

f'(x) = 0

Comments

f(x) = 5x^2

f'(x) = lim (h-->0) (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = lim (h-->0) (5(x + h)^2 - 5x^2) / h

f'(x) = lim (h-->0) (5(x^2 + 2xh + h^2) - 5x^2) / h

f'(x) = lim (h-->0) (5x^2 + 10xh + 5h^2 - 5x^2) / h

f'(x) = lim (h-->0) (10xh + 5h^2) / h

f'(x) = lim (h-->0) (10x + 5h) / 1

f'(x) = lim (h-->0) 10x + 5h

f'(x) = 10x

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Ahh, ich habe f(x)=5x^2 schon falsch eingesetzt... dann ist klar, dass es zu einem seltsamen Ergebnis führt.

Vielen Dank :)

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Achte auch bei der ersten Aufgabe darauf das der Zähler nicht 4 + h - 4 lautet sondern einfach nur 4 - 4.

Ein h erscheint nur wenn etwas von x abhängt. Wenn 4 eine Konstante ist kommt dort kein h dazu.

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Das ist nochmal ein wichtiger Hinweis. Das hätte ich wahrscheinlich sonst weiterhin falsch geschrieben...

Answer 2

Verwende:

f(x)=4 = 0*x+4

(0*(x+h)+4-(x+4))/h = 0/h= 0

Comments

das sieht sehr interessant aus, das werde ich gleich mal einsetzen und durchrechnen. Auf die Idee mit 0*x bin ich gar nicht gekommen. Auch Dir vielen Dank.

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Ich glaube du hast unterwegs eine 0 als Faktor verloren. Ich hab sie aufgehoben und gebe sie dir jetzt wieder.

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Danke, Coach. War wiedermal schlampig. Muss natürlich 0*x+4 lauten.
Gut, dass mir immer einer über die Finger schaut. Aber wozu hat man so kompetente und nette Kollegen wie dich.
Schönen Sonntag noch! :))

Answer 3

f(x)=5 x^2

                     

Comments

x auf der linken, x₀ auf der rechten Seite ist etwas verwirrend

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Vielen Dank :D Das ist sehr übersichtlich und ausgesprochen hilfreich.