Stationäre Punkte berechnen

Question

f(x,y)=(1-x^2)y-x

Ich soll alle stationären Punkte von f angeben und den dazugehörigen Typ. Ich weiß, dass für einen Sationären Punkt ∇f=(0,0) gelten muss als (-2xy,1-x^2)=(0,0) Gibt es aber nicht für -2xy unendlich viele Stationäre Punkte, denn solange eine Koordinate 0 ist geht die Gleichung auf!

Hoffe mir kann da jemand helfen

Answer 1

es muss ja beides 0 sein     also x = ±1 und dann bei dem anderen einsetzenalso alle Punkte  mit     x = ±1    und    y = 0also 2 Stück.

Answer 2

f(x,y) = (1-x²)·y - x

die partiellen Ableitungen sind

f_x = - 2·x·y - 1

f_y = 1 - x²

Bei stationären Punkten haben beide den Wert 0:

1 - x² = 0   ↔  x² = 1  ↔   x = ± 1

- 2·x·y - 1 = 0 

Die letzte Gleichung stimmt mit x = 1  für y = -1/2  und  mit x = -1 für y = 1/2

Stationäre Punkte:  (x,y):   (1 , -1/2 )   und ( -1 , 1/2 )  

Nachtrag:

Wenn du hier anklickst

http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=-3&xmax=3&ymin=-3&ymax=3&zmin=Auto&zmax=Auto&f=%281-x%5E2%29%2Ay-x

solltest du einen 3D-Graph erhalten

Gruß Wolfgang

Comments

Ok verstehe. Das Heißt wenn ich mir die Hauptminoren der einzelnen Punkte anschaue dann hab ich bei (1,-1/2) einen hyperbolischen und bei (-1,1/2) einenElliptischen Punkt oder?

Im nächsten Punkt des Beispiels wird gefragt ob sich die durch f(x,y)=0 definierte Kurve in der Nähe des Punktes (0,0) parametrisieren lässt ((0,0) liegt auf der Kurve.

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Mit den Hauptminoren der Hessematrix überprüft man, ob Minima/Maxima oder Sattelpunkte vorliegen. Die Begriffe "hyperbolischer" bzw. "elliptischer" Punkt sagen mir auf Anhieb leider nichts. Auch zur Parametrisierung kann ich dir im Moment nichts sagen. Vielleicht solltest du die Aufgaben gleich vollständig einstellen :-).

Du kannst dir ja mal mit dem in der Aufgabe ergänzten Link den 3D-Graph anschauen.