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Die Aufgabe lautet:


Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion:  f(x;y) =  x3+6xy2-2y3-12x


Zuerst habe ich die Funktion nach x und dann nach y abgeleitet.

Um X0/Y0 zu bestimmen, dass ich später benötigen werde um dies in die Formel einzusetzen, um die extremwerte zu bekommen, muss ich ja die Ableitungen fx und fy Nullsetzen. Ich tue dies und da kommt immer nur Müll raus.

Ich habe Probleme diese stationären Punkte zu berechnen. Da können ja mehrere rauskommen wenn ich mich nicht täusche und ich wüsste jetzt nicht welche Punkte ich dann für die späteren Brechnungen verwenden soll.

Ich habe die ganze Zeit versucht X0/Y0 rauszufinden, aber leider erfolglos. Ich bitte um Hilfe.

Liebe Grüße F.M.

von

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Beste Antwort

f(x, y) = x^3 + 6·x·y^2 - 2·y^3 - 12·x

df/dx = 3·x^2 + 6·y^2 - 12 = 0

df/dy = 12·x·y - 6·y^2 = 6·y·(2·x - y) = 0

Was muss y laut der 2. Gleichung sein. Gibt hier 2 Möglichkeiten. Was folgt dann für die erste Gleichung daraus.

Lösung: 

x = 2 ∧ y = 0
x = -2 ∧ y = 0
x = 2/3 ∧ y = 4/3
x = - 2/3 ∧ y = - 4/3

Nun solltest du diese Möglichkeiten auf Extremwerte überprüfen.

von 278 k

Danke für die Antwort!

Zitat: "Was muss y laut der 2. Gleichung sein. Gibt hier 2 Möglichkeiten. Was folgt dann für die erste Gleichung daraus."

$$ 12xy-{ 6y }^{ 2 }=\quad 0\quad \quad /-12xy\\ -{ 6y }^{ 2 }=\quad -12xy\quad \quad /:(-12)\\ \frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 }=\quad xy\quad \quad \quad \quad /:y\\ \frac { 1 }{ 2 } y\quad =\quad x\\ \\ $$

Dann hab ich das in df/dx eingesetzt:

$$ 3*\left( { \frac { 1 }{ 2 } y } \right) ²\quad +\quad 6y²-12\quad =\quad 0\\ 3*\frac { 1 }{ 4 } { y }^{ 2 }+6y²-12\quad =\quad 0\\ \frac { 3 }{ 4 } y²+6y²-12\quad =\quad 0\\ 6,75y²-12\quad =\quad 0\quad \quad /-6,75y²\\ -12=\quad -6,75y²\quad \quad \quad /:(-6,75)\\ 1,7\quad =\quad y²\quad \quad \quad \quad \quad \quad /\sqrt {  } \\ \sqrt { 1,7 } =\quad y\\ \frac { 4 }{ 3 } =\quad y\\ $$

Und dies dann wieder in das erste was ich raus hatte, also in x = (1/2)y:

$$ x=\frac { 1 }{ 2 } *\frac { 4 }{ 3 } \\ x=\quad \frac { 2 }{ 3 } $$

Dann habe ich nur ein Teil von vier möglichen fertig. x=(2/3) und y=(4/3).



Aber wie komme ich auf:

x = 2 ∧ y = 0 

x = -2 ∧ y = 0

x = - 2/3 ∧ y = - 4/3

Bin ich generell richtig vorgegangen? Hab eine von beiden Funktionen Nullgesetzt um x oder y rauszubekommen, diesen Wert dann in die andere eingetzt, dann eine Zahl rausbekommen und diese wieder in die erste eingesetzt um dort auch eine Zahl zu bekommen. Dann habe ich aber nur eine Stelle berechnet und nicht alle vier.

Bitte um weiter Hilfe

Beginne nochmals hiermit

6·y·(2·x - y) = 0       Dieses Produkt ist 0.

also gilt entweder 6y = 0 ==> y = 0. (1. Fall beim Einsetzen in die 1. Gleichung)

oder es gilt 2x - y = 0 ==> y = 2x (2. Fall beim Einsetzen in die 1. Gleichung).

Zu deiner Rechnung: Wenn du eine Gleichung durch y teilst, verlierst du den Fall y=0.

Weiter zu deiner Rechnung

1.7 = y^2 |√

±√1.7 = y1,2  Hier verlierst du eine weitere Lösung.

Zitat:

"

Beginne nochmals hiermit

6·y·(2·x - y) = 0       Dieses Produkt ist 0.

also gilt entweder 6y = 0 ==> y = 0. (1. Fall beim Einsetzen in die 1. Gleichung)

oder es gilt 2x - y = 0 ==> y = 2x (2. Fall beim Einsetzen in die 1. Gleichung).

"

Okay das klingt logisch für mich dankeschön. Dann hab ich jetzt für y=0 in df/dx eingesetzt:

$$ 3x²+6*(0)-12\quad =\quad 0\\ 3x²-12\quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\quad \quad \quad /+12\\ 3x²\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =12\quad \quad \quad /:3\\ x²\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 4\quad \quad \quad \quad /\quad \sqrt [ +- ]{  } \\ x\qquad \qquad \qquad =\quad \sqrt [ +- ]{ 4 } \\ \\ { _{  }{ x }_{ 1 } }\quad \quad =\quad +\sqrt { 4 } =\quad 2\\ { _{  }{ x }_{ 2 } }\quad =\quad -\quad \sqrt { 4 } =\quad -2\\ $$

Und nun für y=2x:

$$ 3x²+6*(2x)-12\quad =\quad 0\quad \quad /\quad Hier\quad würde\quad ich\quad die\quad quadratische\quad Ergänzung\quad machen\quad /3\\ x²+4x-4\quad =\quad 0\\ \\ (x+2)²\quad -8=\quad 0\quad \quad /+8\\ (x+2)²\quad \quad \quad =\quad 8\quad \quad /\quad +-\sqrt {  } \\ x+2\quad \quad \quad \quad \quad =\quad +-\sqrt { 8 } \quad \quad /-2\\ x\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad +-\sqrt { 8 } -2\\ \\ Das\quad ergibt\quad jetzt\quad aber\quad leider\quad nicht\quad \frac { 2 }{ 3 } /-\frac { 2 }{ 3 } \quad und\quad \frac { 4 }{ 3 } /-\frac { 4 }{ 3 } $$


Zitat: "

Weiter zu deiner Rechnung

1.7 = y2 |√

±√1.7 = y1,2  Hier verlierst du eine weitere Lösung."


Okay danke.

Was würde ich denn machen wenn sowas hier nicht möglich ist um es eindeutig zu sehen: 

df/dy = 12·x·y - 6·y2 = 6·y·(2·x - y)?


Ach verdammt, hab den Fehler gefunden!


$$ 3x²+6∗(2x)−12=0\\ Hier\quad ist\quad der\quad fehler\quad sry\quad Leute...da\quad muss\quad ja\quad (2x)²\quad hin\quad und\quad dann\quad kommt\quad das\quad mit\quad x=\quad \frac { 2 }{ 3 } /\quad -\frac { 2 }{ 3 } \quad hin.\\ \\ Dann\quad nurnoch\quad einsetzen\quad in\quad y=\quad 2x\quad und\quad es\quad kommt\quad -\frac { 4 }{ 3 } /\quad \frac { 4 }{ 3 } \quad raus.\\ Dankeschön\quad für\quad eure\quad Hilfe!!! $$3x²+6(2x)12=0Jetzt bleiben mir nurnoch 2 Fragen offen:

1.) Was ist wenn diese Umformung nicht möglich ist aus irgendwelchen Gründen, weil die Funktion so doof ist oder so: 
df/dy = 12·x·y - 6·y2 = 6·y·(2·x - y)?


2.) Welchen von den 4 Punkten soll ich für die weiteren Brechnungen nehmen, woran seh ich das?


Danke nochmal, ich habs fast geschafft!!


Du musst y=2x einsetzen.

 3·x2 + 6·y2 - 12 = 0

3x^2 + 6(2x)^2 - 12 = 0.

Danke Lu, hab den fehler gefunden und schnell gepostet!




1.) Was ist wenn diese Umformung nicht möglich ist aus irgendwelchen Gründen, weil die Funktion so doof ist oder so: 
df/dy = 12·x·y - 6·y2 = 6·y·(2·x - y)?


2.) Welchen von den 4 Punkten soll ich für die weiteren Brechnungen nehmen, woran seh ich das?


Danke nochmal, ich habs fast geschafft!!

Kann ich auf deine Antworten keine Punkte vergeben? Würde ich auch gerne, jedem der mir hilft

Du hast jetzt ja Stellen, in denen die beiden Ableitungen Null sind.

Nun kannst du den Wert von f an diesen Stellen ausrechnen. Siehst so schon mal, was grösser und kleiner ist.

Wenn du da genauere Begründungen geben musst, z.B. die 'alternate forms' hier ansehen (hilft manchmal)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+f%28x%2Cy%29+%3D++x%5E3%2B6xy%5E2-2y%5E3-12x

oder (falls bekannt) mit der Hesseschen Matrix argumentieren.

okay danke, ich verstehe leider immer noch nicht welchen der vier ich nehmen muss...muss ich alle verwenden?


und was ist wenn ich diese umformung nicht machen kann weil sich das nicht anbietet:

df/dy = 12·x·y - 6·y2 = 6·y·(2·x - y)?

Hi McFurok,

ich mach mal für Lu weiter.


Du musst alle Punkte nehmen. Die bisher bestimmten Punkte sind "stationäre Punkte" (oder wie ihr die nennt) und es ist möglich bei diesen Extrema vorzufinden. Kontrolliere nun jeden Punkt, indem Du diese je in die Hessematrix einsetzt. Diese aufzustellen bereitet keine Probleme?

danke aber hessematrx sagt mir leider nichts :D

Wie nennt sich denn der Kurs, in dem du diese Aufgabe lösen sollst? Hast du inzwischen die 4 'stationären Stellen' eingesetzt?

der Kurs heißt einfach Mathe 2 und ja habe ich. ich hab dann -16 und16 und -5,3 und 5,3 raus. Leider weiß ich nicht was mir das sagen soll.


Und zu Unknown: Könntest du mir ein gutes Video schicken wo das erklärt wird?



Danke für eure Hilfe

@McFurok: Besitzt Du zufällig das Repetitorium der Mathematik?

Da ist es gut erklärt drin. Ansonsten müsste ich nochmals genauer suchen. Habe gerade nichts einleuchtendes über Google gefunden :P.

ne leider habe ich das nicht :(

Würde dann heute Abend/Nacht mal nach halbwegs sinnvoller Literatur schauen. Auf die schnelle nichts gefunden. Vielleicht hat auch noch wer anderes was :).

okay dankeschön ich werde dann auf eine antwort warten :)

Online kenne ich auf die Schnelle auch nichts Schlaues.

Wenn du dazu gar nichts in deinen Unterlagen hast, sollte das auch nicht nötig sein bei euren Übungen.

der Kurs heißt einfach Mathe 2 und ja habe ich. ich hab dann -16 und16 und -5,3 und 5,3 raus. Leider weiß ich nicht was mir das sagen soll.

Lies nochmals ganz genau eure Fragestellung. Steht da exakt:

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion:  f(x;y) =  x3+6xy2-2y3-12x  ?

Wenn ja, dann wäre in der Fragestellung schon gesagt, dass es 2 Extremwerte gibt. Und die müssten dann + und - 16 sein.  Aber: Ich das können nicht die globalen Extremwerte sein, da die Funktion weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Exakt diese Fragestellung könntest du mit + und minus unendlich beantworten.

Okay danke.

Die Frage ist: Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion nach Lage und Art.

Das ist von meiner Formelsammlung. Da steht die Formel für Extremstellen. Punkt 1 muss halt erfüllt sein. Und bei Punkt 2 brauche ich halt (Xo/Yo). Und ich weiß einfach nicht welche ich nehmen soll. Kann dass sein dass ich alle 4 da einsetzen muss in die Formel um Mininum, Maximum und Sattelpunkt zu bekommen, falls es welche gibt?

wenn punkt 2 größer als 0 ist dann ist es ein maximum usw. steht bei Punkt 2

Bild Mathematik geht das so?

Ja genau! Das sehe ich.

Punkt 2 entspricht der Anleitung zum Berechnen der Determinante der Hesse'schen Matrix.

Du musst zuerst alle möglichen zweiten partiellen Ableitungen ausrechnen und in die angegebene Formel für die Determinante einsetzen.

Dann dort der Reihe nach alle vier gefundenen 'Stellen (jeweils x und zugehöriges y)' einsetzen und das Vorzeichen prüfen.

okay danke!

ich mach das später mal muss eben los, also dann doch alle einmal rein, alles klar.


Mag die Seite, frage gestellt, und schon helfen einige, super leute :)


ich rechne demnächst mal alles komplett aus und stell das dann hier als komentar rein dann könnt ihr euch das mal angucken :)

Ich hab jetzt ausgerechnet mit der zweiten Formel auf dem Bild


(2/0)::::> 288    fxx=12

(-2/0)::::> 288   fxx=-12

((2/3)/(4/3))::::> -288  fxx=4

((-2/3)/(-4/3))::::> -288  fxx=-4


Und woran seh ich jetzt was ein Minimum, Maximum und Sattelpunkt ist?

Du hast doch schon die hinreichende Bedingung hingeschrieben. Diese ist anzuwenden.

fxx * fyy - fxy * fxy > 0

fxx < 0 --> Maximum

fxx > 0 --> Minimum

habe ich, das ergibt 288 und -288. Also sind die mit -288nicht zu berücksichtigen weil sie kleiner null sind?

Ja. Wenn bei dir die Determinante = -288 < 0 ist dann ist das kein Extrempunkt.

Wolframalpha bestätigt dieses:

--> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%2B6xy%5E2-2y%5E3-12x

@McFurok: Verzeih. Hatte Dein Fenster gestern abend noch offen, aber iwie völlig verplant :/.

Der von Dir gezeigt Ausschnitt aus der Formelsammlung ist (wie Lu schon erwähnte) im Prinzip die Hessesche Matrix (bzw. deren Determinante).


Bsp-Links:

Hier mit Eigenwerten (und nicht mittels Determinante)

http://www.pd-verlag.de/buecher/pdf/288.pdf


Einen Link bzgl. der Determinante (meine bevorzugte Wahl) finde ich aber leider weiterhin nicht :/.

danke für eure hilfe leute!

ich guck mir den link mal an. Also wenns kleiner null ist kein extrempunkt alles klar

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      f ( x ; y ) :=  x 3 + 6 x y 2 - 2 y 3 - 12 x    ( 1 )

     f_x ( x ; y ) = 3 ( x ² + 2 y ² - 4 ) = 0  ( 2 )


     ( 2 ) ist die Gleichung einer ===> Ellipse


         ( x/a ) ² + ( y/b ) ² = 1   ( 3a )

       a = 2 ; b = sqr ( 2 ) ( 3b )


     f_y ( x ; y ) = 6 ( 2 x y - y ² ) = ( 4a )

    = 6 y ( 2 x - y )   ( 4b )


   Die Antwort ist LMNtar geometrisch; einerseits hast du die Scheitel der Ellipse:


    P1;2 = -/+2 ( 1 | 0 )   ( 5 )


    Und dann sind da die Schnittpunkte von Ellipse ( 2 ) mit der Geraden y = 2 x aus  ( 4b )


      x ² + 8 x ² = 4   ( 6a )

     P3;4 = -/+ 2/3 ( 1 | 2 )   ( 6b )


     f_xx ( x ; y ) = 6 x   ( 7a )

    f_xy ( x ; y ) = 12 y  ( 7b )

   f_yy ( x ; y ) =  12 ( x - y )  ( 7c )


    Gut; den ggt   6 lass ich jetzt mal weg. Dann lautet die Hessematrix für P1;2


      -/+ 2    0

       0        -/+ 4  


     Diese Hessematrix ist bereits diagonal; P1 stellt ein Maximum dar und P2 ein Minimum. Und in P3;4 spare ich mir zusätzlich diesen Vorfaktor 2/3


    -/+  1  -/+  4

     -/+  4   +/- 2


   Auf jeden Fall ist die Determinante negativ ===> SP

von

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