Partielle Ableitungen Stationäre Punkte einer Funktion zweier Variablen

Question

Aufgabe:

Funktion mehrer Variablen

f(x,y) = 1/4x^4+x-4xy^2

Problem/Ansatz:

Ich habe nun folgende partielle Ableitungen gebildet:

fx = x^3+1-4y^2 =! 0

fy= -8y =! 0

Nun bin ich etwas überfragt, wie ich die stationären Punkte berechne.

Ich bin derzeit bei dem Gedanken, dass y ja in dem Fall 0 sein müsste und ich die in die obere Gleichung für das y einsetzen könnte. Jedoch erhalte ich dann am Ende x^3 = -1 und weiß nicht mehr weiter. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg. Die stationären Punkte findest du dort, wo der Gradient, also der Vektor aus den partiellen Ableitungen, gleich \(\vec 0\) ist:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{x^3+1-4y^2}{-8xy}$$Aus der zweiten Koordinatengleichung \(-8xy=0\) folgt sofort, dass \(x=0\) oder \(y=0\) gelten muss.

1. Fall \(x=0\): Die erste Koordinatengleichung lautet nun$$0=1-4y^2\implies 4y^2=1\implies y^2=\frac{1}{4}\implies y=\pm\frac{1}{2}\quad\checkmark$$2. Fall \(y=0\):Die erste Koordinatengleichung lautet nun$$0=x^3+1\implies x^3=-1\implies x=-1\quad\checkmark$$

Wir haben also drei stationären Punkt bei \((0|-\frac{1}{2})\), \((0|\frac{1}{2})\) und \((-1|0)\) gefunden.

Comments

Aloha!

Du bist mein Held. Vielen lieben .

LG

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Achso und noch eine kleine Frage.

Ich habe nun entsprechend dem Punkt die Hesse-Matrix aufgestellt:

fxx    fxy        3x^2     -8y       dann mit Punkt (-1/0)   3     0      => 3

fxy    fyy       -8y        -8                                            0    -8      => - 24

Wodurch ich anhand der Determinanten erkennen kann, dass die Matrix indefinit ist und es damit ein Sattelpunkt ist, nicht wahr?

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Schau bitte nochmal in meine Antwort. Mir war ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Es gibt drei stationäre Punkte, nicht nur einen.

Da gibt es das Hauptminoren-Kriterium. Wenn die Hauptminoren alle positiv sind, ist die Matrix positiv definit. Wechseln die Hauptminoren ihr Vorzeichen regelmäßig ab (beginnend mit negativ), ist die Matrix negativ definit.

Hier ist die Hesse-Matrix$$H(x;y)=\begin{pmatrix}3x^2 & -8y\\-8y & -8x\end{pmatrix}$$allerdings eine \(2\times2\)-Matrix. Für eine solche argumentierst du schneller über die Eigenwerte. Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen und das Produkt der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Determinante. Bei einer \(2x2\)-Matrix kannst du daraus die Eigenwerte sofort bestimmen. Wir gehen mal die 3 Kandidaten durch:

$$H(0;-\frac{1}{2})=\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\implies\lambda_1+\lambda_2=0\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=-16$$$$\implies\lambda_1=-4\;;\;\lambda_2=4\implies\text{indefinit}$$$$H(0;\frac{1}{2})=\begin{pmatrix}0 & -4\\-4 & 0\end{pmatrix}\implies\lambda_1+\lambda_2=0\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=-16$$$$\implies\lambda_1=-4\;;\;\lambda_2=4\implies\text{indefinit}$$$$H(-1;0)=\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 8\end{pmatrix}\implies\lambda_1+\lambda_2=11\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=24$$$$\implies\lambda_1=3\;;\;\lambda_2=8\implies\text{positiv definit}$$

Wir haben also zwei Sattelpunkte und ein Minimum.

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Ach ja. Danke nochmal für die Erklärung. Sehr nett von dir.