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Habe bereits einen Beweis per Fallunterscheidung geführt, wollte aber noch eine alternative Variante ermitteln;

|x+y|<=|x|+|y|

⇔((x+y)^2)^{1/2}<=(x^2)^{1/2}+(y^2)^{1/2}

⇔(x+y) <= x^2 + y^2

Ist der Beweis vollständig?
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Wenn du beide Seiten quadrieren wolltest (um anschließend wieder die Wurzel zu ziehen), hätte es heißen müssen (|x+y|)2<=(|x|+|y|)2 und dann (x+y)2 ≤ x2+2IxIIyI +y2 oder x2+2xy+y2≤ x2+2IxIIyI +y2. Auf beiden Seiten -x2-y2 ergibt: 2xy ≤ 2IxIIyI auf beiden Seiten durch 2 ergibt xy ≤ IxIIyI. Vielleicht ist diese Ungleichung einfacher zu beweisen, als die Dreiecksungleichung.

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|x+y|<=|x|+|y|

⇔((x+y)2)1/2<=(x2)1/2+(y2)1/2

⇔(x+y) <= x + y ...
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