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Hallo

Ich haette eine Frage, und zwar - wie koennte man beweisen, dass die Menge der Funktionen n ∈ N → an ∈ N0 die die Eigenschaft ∃n0 ∈ N ∀ n ≥ n0, an = 0 haben abzaehlbar ist?

Soweit ich weiss kann man die Primfaktorzerlegung der natuerlichen Zahlen verwenden, aber ich dachte dass es vielleicht besser waere, die Existenz einer Bijektion zw. den X und Y Mengen zu beweisen mithilfe der Tatsache, dass Nk und N gleichmaechtig sind. (N bedeutet hier die Menge der natuerlichen Zahlen, ich konnte nur das Zeichen dafuer nicht kopieren)

Bitte helfen Sie mir, die Loesung dazu zu formulieren!

Danke vielmals!

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Beste Antwort

Es geht also um Folgen, die von einer bestimmten Stelle no an nur noch aus 0-en

bestehen, diese sind also identifizierbar mit den Tupeln natürlicher Zahlen mit  no -

Komponenten, also mit Nok und wie du schriebst, ist klar, dass es davon nurhöchstens abzählbar viele gibt.

Dann kannst du die Menge M all dieser Folgen darstellen als Vereinigung von

M = F1  ∪ F2  ∪ F3  ∪ F4 ∪ .....     bzw.

$$ M =  \bigcup _{ i\epsilon { N }_{ 0 } }^{  }{ { F }_{ i } } $$

und dabei ist Fi die Menge der Folgen, die von der i-ten Stelle

an nur aus 0-en bestehen, also

Fi = Menge der Funktionen n ∈ N → an ∈ N0 , die die Eigenschaft  ∀ n ≥ i, an = 0 haben.

Und jede der von dir zu betrachtenden Funktionen (Folgen) gehört ja  nach Vor. zu einer

dieser Mengen. M ist also eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen, also


selber abzählbar.
Beantwortet von 149 k

Ich danke Ihnen herzlich! Das hat wirklich geholfen, und jetzt glaube ich, das ich besser verstehe, worum es bei solchen Beweisen geht!

Vielen dank fuer Ihre Erklaerung! Haben eine schoene Woche! :)

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