$$ (1+1/n^2)^n=\sum_{n=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}}(\frac{1}{n^2})^k\cdot 1^{n-k}\\=1+\sum_{n=1}^{n}\frac{n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^{2k}}\\=1+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k!}\cdot \frac{n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{n\cdot n \cdot...\cdot n} \cdot \frac{1}{n^{k}}$$
Ist die Umformung des Nenners in Zeile 3 nicht ungültig? Begründung:
$$ \\1+\sum_{n=1}^{n}\frac{n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^{2k}}\\=1+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k!}\cdot \frac{n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{n\cdot n } \cdot \frac{1}{n^{k}}\\,da~~ \frac{1}{n^{2k}}=\frac{1}{n^{k}}\cdot\frac{1}{n^{2}} $$
Hier die Beispielaufgabe (siehe: Alternativer Beweis): https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Sandwichsatz#.C3.9Cbungsaufgabe_zum_Sandwichsatz
